卡方分布
简介
卡方分布是一种连续概率分布，常用于统计学中进行假设检验。它描述了在独立抽样中，每个样本的平方偏差之和的分布。卡方分布的形状由其自由度 (df) 参数决定，自由度越大，分布越平缓。
参数
卡方分布用两个参数来定义：
df：自由度，表示卡方分布的形状。自由度必须为正整数。
size：输出数组的形状。
公式
卡方分布的概率密度函数 (PDF) 为：
f(x) = (x^(df/2 - 1) * np.exp(-x/2)) / (2^(df/2) * Gamma(df/2)) for x >= 0
其中：
f(x)：表示在 x 点的概率密度。x：非负实数。df：自由度。np.exp(-x/2)：指数函数。Gamma(df/2)：伽马函数。
生成卡方分布数据
NumPy 提供了 random.chisquare() 函数来生成服从卡方分布的随机数。该函数接受以下参数：
df：自由度。size：输出数组的形状。
示例：生成 10 个自由度为 5 的卡方分布随机数：
import numpy as np
data = np.random.chisquare(df=5, size=10)
print(data)
可视化卡方分布
Seaborn 库提供了便捷的函数来可视化分布，包括卡方分布。
示例：绘制 1000 个自由度为 5 的卡方分布随机数的分布图：
import seaborn as sns
import numpy as np
data = np.random.chisquare(df=5, size=1000)
sns.distplot(data)
plt.show()
练习
- 模拟 20 个自由度为 10 的卡方分布随机数，并绘制它们的分布图。
- 比较不同自由度下卡方分布形状的变化。
- 利用卡方分布来进行卡方检验，假设某枚硬币是公平的，即正面朝上的概率为 0.5。抛掷硬币 100 次，并计算正面朝上的次数是否服从二项分布。
解决方案
import seaborn as sns
import numpy as np
from scipy import stats
# 1. 模拟随机数并绘制分布图
data = np.random.chisquare(df=10, size=20)
sns.distplot(data)
plt.show()
# 2. 比较不同自由度下分布形状的变化
df_values = [2, 5, 10, 20]
for df in df_values:
data = np.random.chisquare(df=df, size=1000)
sns.distplot(data, label=f"df={df}")
plt.legend()
plt.show()
# 3. 进行卡方检验
heads = np.random.binomial(n=100, p=0.5)
chi2_stat, p_value = stats.chisquare(heads, f_exp=50)
print("卡方统计量:", chi2_stat)
print("p 值:", p_value)
# 由于 p 值大于 0.05，无法拒绝原假设，即可以认为硬币是公平的。
瑞利分布
简介
瑞利分布是一种连续概率分布，常用于描述信号处理和雷达系统中的幅度分布。它表示在一个随机变量的平方根服从指数分布时，该随机变量的分布。
参数
瑞利分布用一个参数来定义：
scale：尺度参数，控制分布的平坦程度。较大的尺度参数使分布更加平坦，两侧尾部更加分散。默认为 1。
公式
瑞利分布的概率密度函数 (PDF) 为：
f(x) = (x scale) / (scale^2 np.exp(-x^2 / (2 scale^2))) for x >= 0
其中：
f(x)：表示在 x 点的概率密度。x：非负实数。scale：尺
Zipf分布
简介
Zipf分布，又称为Zeta分布，是一种离散概率分布，常用于描述自然语言、人口统计学、城市规模等领域中具有幂律特征的数据分布。它体现了“少数服从多数”的现象，即排名越靠前的元素出现的频率越高。
参数
Zipf分布用一个参数来定义：
a：分布参数，控制分布的形状。a越小，分布越偏向于少数元素，越接近幂律分布。默认为 2。
公式
Zipf分布的概率质量函数 (PMF) 为：
P(k) = 1 / (k ^ a) for k >= 1
其中：
P(k)：表示第 k 个元素出现的概率。k：元素的排名，从 1 开始。a：分布参数。
生成Zipf分布数据
NumPy提供了random.zipf()函数来生成服从Zipf分布的随机数。该函数接受以下参数：
a：分布参数。size：输出数组的形状。
示例：生成10个服从Zipf分布的随机数，分布参数为2：
import numpy as np
data = np.random.zipf(a=2, size=10)
print(data)
可视化Zipf分布
Seaborn库提供了便捷的函数来可视化分布，包括Zipf分布。
示例：绘制1000个服从Zipf分布的随机数的分布图，分布参数为2：
import seaborn as sns
import numpy as np
data = np.random.zipf(a=2, size=1000)
sns.distplot(data)
plt.show()
练习
- 模拟不同分布参数下Zipf分布形状的变化。
- 利用Zipf分布来模拟一个城市的规模分布，并计算排名前10的城市人口占总人口的比例。
- 比较Zipf分布与幂律分布的异同。
解决方案
import seaborn as sns
import numpy as np
# 1. 模拟不同分布参数下Zipf分布形状的变化
a_values = [1.5, 2, 2.5, 3]
for a in a_values:
data = np.random.zipf(a=a, size=1000)
sns.distplot(data, label=f"a={a}")
plt.legend()
plt.show()
# 2. 模拟城市规模分布并计算人口比例
population = np.random.zipf(a=2, size=100)
top10_population = population[:10].sum()
total_population = population.sum()
print("排名前10的城市人口:", top10_population)
print("排名前10的城市人口比例:", top10_population / total_population)
# 3. Zipf分布与幂律分布的比较
Zipf分布和幂律分布都描述了“少数服从多数”的现象，即排名越靠前的元素出现的频率越高。
但是，Zipf分布的参数化程度更高，可以更精确地描述不同领域的幂律现象。幂律分布则更通用，但缺乏Zipf分布对参数的控制能力。
具体来说，Zipf分布的PMF为：
P(k) = 1 / (k ^ a)
幂律分布的PMF为：
P(k) = C / k ^ alpha
```
其中，C为归一化常数。
可见，Zipf分布的参数a控制了分布的倾斜程度，而幂律分布的参数alpha则控制了分布的整体形状。
此外，Zipf分布通常用于描述离散数据，而幂律分布则可以用于描述离散和连续数据。
最后
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