一、什么是跳表 —— skiplist
skiplist 本质上也是一种查找结构，用于解决算法中的查找问题，跟平衡搜索树和哈希表的价值是一样的，可以作为 key 或者 key/value 的查找模型。
skiplist 是由 William Pugh 发明的，最早出现于他在 1990 年发表的论文《Skip Lists: A Probabilistic Alternative to Balanced Trees》。
skiplist 是一个 list。实际上，它是在有序链表的基础上发展起来的。如果是一个有序的链表，查找数据的时间复杂度是 O(N)。
William Pugh 开始的优化思路：
- 假如我们每相邻两个节点升高一层，增加一个指针，让指针指向下下个节点。这样所有新增加的指针连成了一个新的链表，但它包含的节点个数只有原来的一半。由于新增加的指针，我们不再需要与链表中每个节点逐个进行比较了，需要比较的节点数大概只有原来的一半。
- 以此类推，我们可以在第二层新产生的链表上，继续为每相邻的两个节点升高一层，增加一个指针，从而产生第三层链表。
- skiplist 正是受这种多层链表的想法的启发而设计出来的。实际上，按照上面生成链表的方式，上面每一层链表的节点个数，是下面一层的节点个数的一半，这样查找过程就非常类似二分查找，使得查找的时间复杂度可以降低到 O(log n)。但是这个结构在插入删除数据的时候有很大的问题，插入或者删除一个节点之后，就会打乱上下相邻两层链表上节点个数严格的 2:1 的对应关系。如果要维持这种对应关系，就必须把新插入的节点后面的所有节点（也包括新插入的节点）重新进行调整，这会让时间复杂度重新蜕化成 O(n)。
- skiplist 的设计为了避免这种问题，做了一个大胆的处理，不再严格要求对应比例关系，而是
插入一个节点的时候随机出一个层数。这样每次插入和删除都不需要考虑其他节点的层数，
这样就好处理多了。细节过程入下图：
二、如何保证 skiplist 的效率
上面我们说到，skiplist 插入一个节点时随机出一个层数，听起来怎么这么随意，如何保证搜索时的效率呢？
这里首先要细节分析的是这个随机层数是怎么来的。一般跳表会设计一个最大层数 maxLevel 的限制，其次会设置一个多增加一层的概率 p。那么计算这个随机层数的伪代码如下图：
在 Redis 的 skiplist 实现中，这两个参数的取值为：
p = 1/4 maxLevel = 32
根据前面 randomLevel() 的伪代码，可以很容易看出，产生越高的节点层数，概率越低。定量的分析如下：
- 节点层数至少为 1。而大于 1 的节点层数，满足一个概率分布。
- 节点层数恰好等于 1 的概率为 1-p。
- 节点层数大于等于 2 的概率为 p，而节点层数恰好等于 2 的概率为 p(1-p)。
- 节点层数大于等于 3 的概率为 p^2，而节点层数恰好等于 3 的概率为 p^2*(1-p)。
- 节点层数大于等于 4 的概率为 p^3，而节点层数恰好等于 4 的概率为 p^3*(1-p)。
- ……
因此，一个节点的平均层数（也即包含的平均指针数目），计算如下：
现在很容易计算出：
- 当 p=1/2 时，每个节点所包含的平均指针数目为 2。
- 当 p=1/4 时，每个节点所包含的平均指针数目为 1.33。
跳表的平均时间复杂度为 O(logN)。
可以了解学习：Redis 内部数据结构详解 —— skiplist-CSDN博客
三、skiplist 的实现
力扣对应题目链接：1206. 设计跳表 - 力扣（LeetCode）
//力扣AC代码 struct SkiplistNode { int _val; vector<SkiplistNode*> _nextV; SkiplistNode(int val, int level) : _val(val) , _nextV(level, nullptr) {} }; class Skiplist { typedef SkiplistNode Node; public: Skiplist() { srand(time(0)); // 头节点，层数是1 _head = new SkiplistNode(-1, 1); } bool search(int target) { Node* cur = _head; int level = _head->_nextV.size() - 1; while(level >= 0) { // 目标值比下一个节点值要大 -> 向右走 if(cur->_nextV[level] && target > cur->_nextV[level]->_val) { cur = cur->_nextV[level]; } // 下一个节点为空(尾)或目标值比下一个节点值要小 -> 向下走 else if(cur->_nextV[level] == nullptr || target < cur->_nextV[level]->_val) { level--; } else { return true; } } return false; } vector<Node*> FindPrevNode(int num) { Node* cur = _head; int level = _head->_nextV.size() - 1; // 插入位置每一层前一个节点指针 vector<Node*> prevV(level + 1, _head); while (level >= 0) { // 目标值比下一个节点值要大 -> 向右走 if (cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < num) { cur = cur->_nextV[level]; } // 下一个节点为空(尾)或目标值比下一个节点值要小 -> 向下走 else if (cur->_nextV[level] == nullptr || cur->_nextV[level]->_val >= num) { // 更新level层前一个 prevV[level] = cur; level--; } } return prevV; } void add(int num) { // 插入位置每一层的前一个节点指针 vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num); int n = RandomLevel(); Node* newnode = new Node(num, n); // 如果n超过当前最大的层数，那就升高一下_head的层数 if (n > _head->_nextV.size()) { _head->_nextV.resize(n, nullptr); prevV.resize(n, _head); } // 链接前后节点 for (size_t i = 0; i < n; ++i) { newnode->_nextV[i] = prevV[i]->_nextV[i]; prevV[i]->_nextV[i] = newnode; } } bool erase(int num) { vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num); // 第一层下一个不是val，说明val不在表中 if (prevV[0]->_nextV[0] == nullptr || prevV[0]->_nextV[0]->_val != num) { return false; } else { Node* del = prevV[0]->_nextV[0]; // del节点每一层的前后指针链接起来 for (size_t i = 0; i < del->_nextV.size(); i++) { prevV[i]->_nextV[i] = del->_nextV[i]; } delete del; // 如果删除最高层节点，把头节点的层数也降一下 int i = _head->_nextV.size() - 1; while (i >= 0) { if (_head->_nextV[i] == nullptr) i--; else break; } _head->_nextV.resize(i + 1); return true; } } int RandomLevel() { size_t level = 1; // rand() -> [0, RAND_MAX] while (rand() <= RAND_MAX * _p && level < _maxLevel) { level++; } return level; } private: Node* _head; // 头节点 size_t _maxLevel = 32; double _p = 0.25; }; /** * Your Skiplist object will be instantiated and called as such: * Skiplist* obj = new Skiplist(); * bool param_1 = obj->search(target); * obj->add(num); * bool param_3 = obj->erase(num); */
了解更多，可以参考：跳表 - OI Wiki (oi-wiki.org)
四、skiplist 跟平衡搜索树和哈希表的对比
skiplist 相比平衡搜索树（AVL 树和红黑树）对比，都可以做到遍历数据有序，时间复杂度也差不多。
skiplist 的优势是：
- skiplist 实现简单，容易控制。而平衡树增删查改遍历都更复杂。
- skiplist 的额外空间消耗更低。而平衡树节点存储每个值有三叉链，平衡因子/颜色等消耗。
skiplist 中当 p=1/2 时，每个节点所包含的平均指针数目为 2。
skiplist 中当 p=1/4 时，每个节点所包含的平均指针数目为 1.33。
skiplist 相比哈希表而言，就没有那么大的优势了。相比而言：
- 哈希表非极端场景下哈希冲突的平均时间复杂度是 O(1)，比 skiplist 快。
- 哈希表空间消耗略多一点。
skiplist 优势如下：
- 遍历数据有序。
- skiplist 空间消耗略小一点，哈希表存在链接指针和表空间消耗。
- 哈希表扩容有性能损耗。
- 哈希表在极端场景下哈希冲突高，效率下降厉害，需要红黑树补足接力。
