AVL树的原理及其实现

前言

回顾我们对于二叉搜索树的了解，二叉搜索树的效率跟树的高度成反比。而且，数据插入的随机性导致普通的二叉搜索树甚至可能退化成一条“单链表”，这样的结构查找起来时间复杂度直奔O（N），这无疑是我们不想看到的。我们希望，无论数据怎么插入，二叉搜索树的结构都应该保持平衡，即看起来更加接近于完全二叉树或者满二叉树·。AVL树因此诞生。

了解AVL树

AVL树又叫平衡二叉搜索树，得名于它的发明者Georgy Adelson-Velsky和Evgenii Landis。它的出现很好的解决了二叉搜索树的效率退化问题。AVL树的特点就是任一一个节点的左右子树的高度差不超过1。这个特点可以使二叉搜索树的高度始终保持在logn的级别，从而保证了查找效率稳定在O(logn)级别。具体是怎么实现这一特点的呢？下面结合代码给您讲解。

AVL树的特点

• AVL树具有二叉搜索树的性质，即对于任意一个节点，左子树的值均小于根节点的值，右子树的值均大于根节点的值。
• 每个节点都有一个平衡因子属性（可视为一个int变量），记录着左右子树的高度差（一般是右子树高度减去左子树高度）
• 查找、删除、插入的时间复杂度均为O(logn).

AVL树的节点

根据AVL树的特点，AVL树的每一个节点都得有一个记录左右子树高度差的平衡因子。除此之外，还需要有一个指向父节点的指针。具体如下：

    //节点信息
  template<class K, class V>
  class AVLNode {
  public:
    AVLNode(const pair<K, V>& kv)
      :_bf(0)
      , left(nullptr)
      , right(nullptr)
      ,father(nullptr)
    {
      
    }
    int _bf;//平衡因子
    pair<K, V> _kv;
    AVLNode<K, V>* left;
    AVLNode<K, V>* right;
    AVLNode<K, V>* father;
  };

调整方案

下面所述代码中，平衡二叉树的平衡因子均表示右子树高度减去左子树高度。

当我们向一颗平衡二叉树里插入一个元素，插入节点的祖先节点的平衡因子都有可能会因此改变。从当前新节点的父节点开始向上遍历，重复以下几个步骤：

1. 用一个指针指cur向新节点表示当前节点，一个指针pa指向其父节点。
2. 如果cur节点在pa的左子树中，那么这个pa节点的平衡因子减一，否则加一。
3. 更新平衡因子之后，观察pa平衡因子大小。如果为0，则说明当前pa节点向上的所有父节点的平衡因子都不会改变。
4. 如果·pa·平衡因子为-1或者1，则说明当前节点符合平衡二叉树节点特征，但是其父节点还不一定，于是继续向上遍历。
5. 如果pa平衡因子为2或者-2，则说明当前节点失衡了（左右子树的高度差大于1）！我们需要调整。

调整方案具体如下：

右单旋

如果cur的平衡因子为-1，且pa的平衡因子为-2。那么我们选择让pa节点右单旋。

上图就是这种情况**。矩形表示一颗子树**。右旋过之后就变成了这样：

为什么要右单旋呢？

或者说为什么右单旋之后，pa和cur的平衡因子会为0呢？

假设在没有旋转的时候，pa的左子树高度为N,则右子树高度为N-2。即上图黄色矩形的表示的树的高度为N-2。

由于cur的平衡因子为-1，则cur左子树的高度为N-1,右子树的高度为N-2。即上图蓝色矩形表示的树的高度为N-2。

所以，我们完成这样一个右单旋之后，对于cur来说，左子树的高度依旧是N-1,但是右子树的高度变成了N-1，平衡因子也就变成了0。

对于pa来说，它的右子树高度依旧是N-2，但是左子树高度变成了N-2,平衡因子也变成了0。

右单旋之后还需不需要继续往上调整呢呢？答案是不用了，由于cur和pa的平衡因子都是0了，再往上的节点的平衡因子保持不变。

继续思考，平衡因子是没问题了，但是这样旋转会不会改变二叉搜索树的性质呢？答案也是不会的。所谓的右单旋，就是把pa变成cur的右孩子，原本cur是pa的左孩子，pa节点包括pa的右子树的值均大于以cur子树的值。旋转之后cur的左子树的值依旧小于cur节点的值，cur右子树的值依旧大于cur节点的值。对于pa来说也是如此。

右单旋代码

//右单旋
void RotateR(pNode pa) {
  pNode subL = pa->left;
  pNode subLR = subL->right;

  pa->left = subLR;
  if (subLR) subLR->father = pa;

  subL->right = pa;
  pNode ppa = pa->father;
  pa->father = subL;
  
  if (pa == _root) {
    _root = subL;
    subL->father = nullptr;
  }
  else {
    if (pa == ppa->left) {
      ppa->left = subL;
    }
    else {
      ppa->right = subL;
    }
    subL->father = ppa;
  }

  subL->_bf = pa->_bf = 0;
}

左单旋

如果cur的平衡因子为1，且pa的平衡因子为2。那么我们选择让pa节点左单旋。

在理解右单旋的原理之后，对于左单旋也就容易理解了，因为两者的旋转方式都是一样的，只不过“方向”不同。

这种情况我们就需要对pa进行左单旋，调整之后就变成了下图所示：

为什么要左单旋？

参考右单旋。

假设在没有旋转的时候，pa的左子树高度为N,则右子树高度为N+2。即上图黄色矩形的表示的树的高度为N。

由于cur的平衡因子为1，则cur右子树的高度为N+1,左子树的高度为N。即上图蓝色矩形表示的树的高度为N。

所以，我们完成这样一个左单旋之后，对于cur来说，右子树的高度依旧是N+1,但是左子树的高度变成了N+1，平衡因子也就变成了0。

对于pa来说，它的左子树高度依旧是N，但是右子树高度变成了N,平衡因子也变成了0。

左单旋代码

//左单旋
void RotateL(pNode pa) {
  pNode subR = pa->right;
  pNode subRL = subR->left;

  pa->right = subRL;
  if (subRL) subRL->father = pa;

  subR->left = pa;
  pNode ppa = pa->father;
  pa->father = subR;

  if (pa == _root) {
    _root = subR;
    subR->father = nullptr;
  }
  else {
    if (pa == ppa->left) {
      ppa->left = subR;
    }
    else {
      ppa->right = subR;
    }
    subR->father = ppa;
  }

  subR->_bf = pa->_bf = 0;
}

左右双旋

如果cur的平衡因子为1，且pa的平衡因子为-2。那么我们选择先让pa节点的左孩子左单旋。然后再让pa右单旋。

这种情况只对pa进行右单旋不能保证让所有节点平衡，我们自能

图中的h表示子树的高度

仔细观察上图AVL树左右双旋的过程，就能明白为什么要双旋能让每个节点再次平衡了。值得注意的是，在双旋之后，pa于subL节点的平衡因子并不是固定的，它们随着新节点插入到subLR的位置的而变化。

例如：

左右双旋之后平衡因子的情况

• 情况（1）如果新节点插入到subLR的左子树中，在双旋之后，这个新节点会变成subL的右子树节点，此时subL的平衡因子为0，pa的平衡因子为1。
• 情况（2）如果新节点插入到subLR的右子树中，双旋之后，这个新结点则会变成pa的左子树节点，此时pa的平衡因子为0，subL的平衡因子为-1。
• 情况（3）如果新插入节点本身就是subLR节点，即此时subLR的平衡因子为0。也就意味着双旋之后，pa和subL的平衡因子为0.
• 但无论是上面的哪种情况，双旋之后，subLR的平衡因子都是0.

那更新pa和subL的平衡因子时如何区分是以上哪种情况呢？看subLR的平衡因子。如果是-1，表示新节点在subLR的左子树中，即情况（1）。如果是1,说明新节点在subLR的右子树中，即情况（2）。如果是0,表示新节点就是subLR本身，即情况（3）。

左右双旋代码实现

有了上面左右单旋的代码，左右双旋就能通过使用封装它们的函数来实现了：

//左右双旋
void RotateLR(pNode pa) {
  pNode subL = pa->left;
  pNode subLR = subL->right;

  int subLR_bf = subLR->_bf;

  RotateL(subL);
  RotateR(pa);

  if (subLR_bf == -1) {
    pa->_bf = 1 ;
    subL->_bf = 0;
  }
  else if (subLR_bf == 1) {
    pa->_bf = 0;
    subL->_bf = -1;
  }
  else if (subLR_bf == 0) {
    pa->_bf = 0;
    subL->_bf = 0;
  }
  else {
    //perror("RotateLR");
  }
  subLR->_bf=0;
  return;
}

右左双旋

如果cur的平衡因子为-1，且pa的平衡因子为2。那么我们选择先让pa节点的右孩子右单旋。然后再让pa左单旋。

原理和左右双旋一致，只不过旋转的方向相反：

右左双旋的平衡因子的情况参考左右双旋，我这里就不做过多赘述了。

同样右左双旋的代码可以使用单旋的接口来实现

右左双旋代码：

//右左双旋
void RotateRL(pNode pa) {
  pNode subR = pa->right;
  pNode subRL = subR->left;

  int subRL_bf =subRL->_bf;

  RotateR(subR);
  RotateL(pa);

  if (subRL_bf == -1) {
    pa->_bf = 0;
    subR->_bf = 1;
  }
  else if (subRL_bf == 1) {
    pa->_bf = -1;
    subR->_bf = 0;
  }
  else if (subRL_bf == 0) {
    pa->_bf = 0;
    subR->_bf = 0;
  }
  else {
    //perror("RotateRL");
  }
  subRL->_bf=0;

}

简单测试

通过上面的学习，现在我们就能基本实现AVL树的插入操作了。为了检查代码的正确性，下面给出一组测试数据插入到AVL树中，并遍历输出观察结果：

#include<iostream>
#include"myAVLTree.h"
using namespace std;
using namespace k_val;

int main() {
  int a[10] = { 1,7,8,3,4,9,10,2,6,5 };
  AVLTree<int, int> avl;
  for (int i = 0; i < 10; i++) {
    avl.Insert({ a[i],a[i] });
  }

  avl.InOrder();

  return 0;
}

如果想观察·内部结构，可以自行打开调试窗口一一查看。