chapter 1 实数集与函数

简介: chapter 1 实数集与函数

1. 实数

实数由有理数和无理数构成,其中有理数可以使用 image.png

实数的性质

  1. 实数集 R R R对四则运算是封闭的;
  2. 实数是有序的,可以比较大小;
  3. 实数的大小关系有传递性;
  4. 实数有阿基米德 image.png 性,也叫可度量性,对 image.png
  5. 实数具有稠密性,任意两个不相等的实数之间一定有另一个实数;
  6. 实数和数轴上的点是唯一对应的;

三角形不等式

  image.png

R R R中有两类重要的数集:区间和邻域;

区间有开区间,闭区间,半开半闭区间; image.png

邻域有左邻域,右邻域,空心邻域;

  1. 点 a a a的邻域: image.png
  2. 点 a a a的空心邻域: image.png
  3. 点 a a a的左邻域: image.png

确界分为上界和下界,若数集既有上界又有下界则称为有界集,反之则称为无界集;

数 η \eta η称为数集 S S S上确界,记作 image.png

  1. image.png
  2. image.png

ξ称为数集 S下确界,记作 image.png

确界定理:设 S 是非空数集,若 S 有上界,则一定有上确界

狄利克雷(  Dirichlet)函数:

D(x)={1,x∈Q0,x∈R−Q

黎曼(  Riemann)函数在  [0,1]上是可积的:

有界函数指的是函数的值域是有界的,既要有上界也要有下界;

函数的单调性: ≤ , ≥ 单调;<> 严格单调;原函数严格增减则反函数也严格增减


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