chapter 1 实数集与函数

1. 实数

实数由有理数和无理数构成，其中有理数可以使用

实数的性质：

1. 实数集 R R R对四则运算是封闭的；
2. 实数是有序的，可以比较大小；
3. 实数的大小关系有传递性；
4. 实数有阿基米德 性，也叫可度量性，对 ；
5. 实数具有稠密性，任意两个不相等的实数之间一定有另一个实数；
6. 实数和数轴上的点是唯一对应的；

三角形不等式：

R R R中有两类重要的数集：区间和邻域；

区间有开区间，闭区间，半开半闭区间；

邻域有左邻域，右邻域，空心邻域；

1. 点 a a a的邻域：
2. 点 a a a的空心邻域：
3. 点 a a a的左邻域：

确界分为上界和下界，若数集既有上界又有下界则称为有界集，反之则称为无界集；

数 η \eta η称为数集 S S S的上确界，记作

数 ξ称为数集 S的下确界，记作

确界定理：设 S 是非空数集，若 S 有上界，则一定有上确界

狄利克雷(  Dirichlet)函数：

D(x)={1,x∈Q0,x∈R−Q

黎曼(  Riemann)函数在  [0,1]上是可积的：

有界函数指的是函数的值域是有界的，既要有上界也要有下界；

函数的单调性： ≤ , ≥ 单调；<> 严格单调；原函数严格增减则反函数也严格增减；