递归算法介绍：
递归算法是一种在计算机科学和数学中广泛应用的解决问题的方法，其基本思想是利用问题的自我相似性，即将一个大问题分解为一个或多个相同或相似的小问题来解决。递归算法的核心在于函数（或过程）能够直接或间接地调用自身来求解问题的不同部分，直到达到基本情况（也称为基础案例或终止条件），这时可以直接得出答案而不必再进行递归调用。
以下是递归算法的几个关键特征和步骤：
递归定义：
递归算法通常基于一个问题的递归定义，也就是说，问题的解决方案可以通过一系列越来越小的同类型子问题的解决方案来构建。
基本情况（Base Case）：
每个递归算法都需要一个或多个基本情况，这是递归链条终止的条件。对于任何递归问题而言，必须存在至少一个基本情况，使得递归函数在遇到这种情况时不进行进一步的递归调用，而是直接返回结果。
- 递归步骤（Recursive Step）：
当问题不满足基本情况时，递归函数需要将原问题转换成一个或多个更简单的子问题，并通过调用自身来解决这些子问题。 - 归纳原理：
递归算法背后的理念类似于数学归纳法，假设问题的较小规模实例已经正确解决，那么通过递归步骤逐步将问题规模扩大， 直到到达原问题的规模，从而得出原问题的解。 - 堆栈机制：
在实际运行过程中，每一次递归调用都会将待解决的子问题压入系统调用栈中，直到遇到基本情况并开始逐层返回结果，这就是所谓的“有去有回”。
动图帮你理解：
1 题目描述
题目描述简洁明了，却蕴含着深厚的算法设计与逻辑推演的智慧。题目要求我们不使用标准的乘法运算符 * 来实现两个整数之间的乘法操作。乍一看，这似乎是对传统乘法运算的一种颠覆，实则是对编程能力和数学思维深度的一次独特考验。
2 思路一（返璞归真版）
首先我就想到了乘法的加法表示：A * B = B 个 A 相加。
也可得到递推公式：
A * B = A * (B - 1) + A
我们很容易就可以构造出递归算法
int multiply(int A, int B){ //B 为 1 直接返回B if(B == 1) return A; return A + multiply(A , B - 1); }
来看运行效果：
3 思路二（二进制乘法器版）
接下来我们换一种方法，大家一定记得小时候计算乘法的时候，在纸上打草稿的那种竖式。这其实乘法器的思路。这种算法我们以后会经常遇到，一定要记住我们的竖式计算，这样可以把复杂的问题简单化！！！
来看代码：
int multiply(int A, int B){ //乘法器 //二进制运算 //B 为乘数 不为零才继续 if(B) { if(B & 1)//B 末位是1 { // A 左移（放大 因为下一位乘数进位） //使用 long long 类型防止 A 超出范围 return multiply((long long)A << 1, B >> 1) + A; } else//B 为零 就不加 A { return multiply((long long)A << 1 , B >> 1); } } //B 为 0 直接返回 0 else return 0; }
运行效果：
4 思路三（变态版）
该思路也是使用了二进制乘法器的思路
巧妙的使用了三目运算符简化if语句。
来看代码：
int multiply(int A, int B){ return B ? multiply((long long)A << 1,B >> 1) +((B & 1)? A:0) : 0 ; }
效果也是非常好！！！！过啦！！！
送给大家一句话：
肆无忌惮的放任自己，这样得来的自由，终将在现实中轰然倒塌。而自律赢来的，是你对现实的自主感，是真正的自由。
