【位运算 反证法 试填法】2897.对数组执行操作使平方和最大

简介: 【位运算 反证法 试填法】2897.对数组执行操作使平方和最大

算法可以发掘本质,如:

一,若干师傅和徒弟互有好感,有好感的师徒可以结对学习。师傅和徒弟都只能参加一个对子。如何让对子最多。

二,有无限多1X2和2X1的骨牌,某个棋盘若干格子坏了,如何在没有坏的格子放足够多骨牌。

三,某个单色图,1表示前前景,0表示后景色。每次操作可以将一个1,变成0。如何在最少得操作情况下,使得没有两个1相邻(四连通)。

四,若干路人,有些人是熟人,如何选出最多的人参加实验。为了避免熟人影响实验的效果,参加的人不能是熟人。

一二是二分图的最大匹配,三是二分图的最小点覆盖,四是二分图最大独立集。 而这三者是等效问题。

本文涉及知识点

位运算 反证法 试填法

LeetCode2897对数组执行操作使平方和最大

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums 和一个 正 整数 k 。

你可以对数组执行以下操作 任意次 :

选择两个互不相同的下标 i 和 j ,同时 将 nums[i] 更新为 (nums[i] AND nums[j]) 且将 nums[j] 更新为 (nums[i] OR nums[j]) ,OR 表示按位 或 运算,AND 表示按位 与 运算。

你需要从最终的数组里选择 k 个元素,并计算它们的 平方 之和。

请你返回你可以得到的 最大 平方和。

由于答案可能会很大,将答案对 109 + 7 取余 后返回。

示例 1:

输入:nums = [2,6,5,8], k = 2

输出:261

解释:我们可以对数组执行以下操作:

  • 选择 i = 0 和 j = 3 ,同时将 nums[0] 变为 (2 AND 8) = 0 且 nums[3] 变为 (2 OR 8) = 10 ,结果数组为 nums = [0,6,5,10] 。
  • 选择 i = 2 和 j = 3 ,同时将 nums[2] 变为 (5 AND 10) = 0 且 nums[3] 变为 (5 OR 10) = 15 ,结果数组为 nums = [0,6,0,15] 。
    从最终数组里选择元素 15 和 6 ,平方和为 152 + 62 = 261 。
    261 是可以得到的最大结果。
    示例 2:

输入:nums = [4,5,4,7], k = 3

输出:90

解释:不需要执行任何操作。

选择元素 7 ,5 和 4 ,平方和为 72 + 52 + 42 = 90 。

90 是可以得到的最大结果。

提示:

1 <= k <= nums.length <= 105

1 <= nums[i] <= 109

位运算

性质一:假定某个最优解是res,res已经按升序排序。如果res.back()的某个二进制位为0,则整个res的此二进制位必定为0。反证法证明:

令 a < b,x = 1 << i ,a的第i个二进制位为1,b的第i个二进制位为0。

则两者之和为:y1= a2+b2

将a的对应1移到b后,两者之和为:

y2=(a-x)2+(b+x)2 = a2-2ax+x2+ b2+2bx+x2

y2-y1 = 2bx-2ax +2x2

2x2 > 0,且b >a ,则2bx-2ax> 0

故y2>y1。

同理删除res 最后的一个元素,余下元素也符合要求。

结论: res[i]的某个二进制位为0,则此二进制为res[j]也为0,j

原理

题中的操作将nums[j]的二进值1移到nums[i]。

操作方式:

将所有nums[j]的1全部移到nums[0] j > 0

将所有nums[j]的1全部移到nums[1] j > 1

⋮ \vdots

思路

统计各二进制为1的个数。

从到大小构建res,如果cnt[j] > 0 则,第j位1,cnt[j]–;否则第j位为0。

初始化时间复杂度:O(nlog(max(n))

处理时间复杂度:O(klog(maxx(n)),处理时间可以优化到O(og(maxx(n)og(maxx(n)),因为除掉重复元素顶多log(max(n))个数,不同的数至少少一个二进制一。

代码

核心代码

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:
  C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
  {
  }
  C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const
  {
    return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
  }
  C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
  {
    m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
    return *this;
  }
  C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
  {
    m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
    return *this;
  }
  C1097Int  operator-(const C1097Int& o)
  {
    return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
  }
  C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const
  {
    return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
  }
  C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
  {
    m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
    return *this;
  }
  bool operator==(const C1097Int& o)const
  {
    return m_iData == o.m_iData;
  }
  bool operator<(const C1097Int& o)const
  {
    return m_iData < o.m_iData;
  }
  C1097Int pow(long long n)const
  {
    C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
    while (n)
    {
      if (n & 1)
      {
        iRet *= iCur;
      }
      iCur *= iCur;
      n >>= 1;
    }
    return iRet;
  }
  C1097Int PowNegative1()const
  {
    return pow(MOD - 2);
  }
  int ToInt()const
  {
    return m_iData;
  }
private:
  int m_iData = 0;;
};
class Solution {
public:
  int maxSum(vector<int>& nums, int k) {
    const int iBitCnt = 31;
    int cnt[iBitCnt] = { 0 };
    for (const auto& n : nums) {
      for (int j = 0; j < iBitCnt; j++) {
        if ((1 << j) & n) {
          cnt[j]++;
        }
      }
    }
    C1097Int<> biRet;
    while (k--) {
      int cur = 0;
      for (int j = 0; j < iBitCnt; j++) {
        if (cnt[j]) {
          cur |= (1 << j);
          cnt[j]--;
        }
      }
      biRet += (long long)cur * cur;
    }
    return biRet.ToInt();
  }
};

测试用例

template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
    assert(t1 == t2);
}
template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
    if (v1.size() != v2.size())
    {
        assert(false);
        return;
    }
    for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
    {
        Assert(v1[i], v2[i]);
    }
}
int main()
{
  vector<int> nums;
  int k;
  {
    Solution sln;
    nums = { 2,6,5,8 }, k = 2;
    auto res = sln.maxSum(nums, k);
    Assert(261, res);
  }
  {
    Solution sln;
    nums = { 4,5,4,7 }, k = 3;
    auto res = sln.maxSum(nums, k);
    Assert(90, res);
  }
}


我想对大家说的话
闻缺陷则喜是一个美好的愿望,早发现问题,早修改问题,给老板节约钱。
子墨子言之:事无终始,无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙,那算法就是他的是睛

测试环境

操作系统:win7 开发环境: VS2019 C++17

或者 操作系统:win10 开发环境: VS2022 C++17

如无特殊说明,本算法用**C++**实现。


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