一、AVL树基本知识
1、概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查 找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii 和E.M.Landis在1962年 发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右 子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均 搜索长度。
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
- 它的左右子树都是AVL树
- 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
2、节点定义
template<class k,class v> struct AVLTreeNode { pair<k, v>_kv; AVLTreeNode<k, v>* _left; AVLTreeNode<k, v>* _right; AVLTreeNode<k, v>* _parent; int _bf;//balance factor //带参数的构造函数 AVLTreeNode(const pair<k,v>& kv) :_kv(kv) ,_left(nullptr) ,_right(nullptr) ,_parent(nullptr) ,_bf(0) {} };
这里我们定义了三叉链来定义节点，最为特殊的是我们相对于二叉树，我们多了一个平衡 因子，这是维持AVL特性的关键，下面我们将围绕此展开对AVL树的构建。
注意：平衡因子 = 右树的高度-左树的高度
3、插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么 AVL树的插入过程可以分为两步：
1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子
对于插入最为重要的是平衡因子的更新，下面我们将讨论更新平衡因子情况：
是否要在更新平衡因子，要根据子树的高度：
1、如果parent->_bf==0,者说明以前的parent->_bf==-1或者parent->_bf==1
即是以前是一边高一边低，现在是插入到矮的一边，树的高度不变，不更新
2、如果parent->_bf==-1或者parent->_bf==-1，者以前parent->_bf==0
即是以前树是均衡的，现在插入让一边高了
子树的高度变了，要向上更新
3 、如果parent->_bf==-2或者parent->_bf==2，者以前parent->_bf==-1或者parent->_bf==1
现在树严重不平衡，让树旋转维持结构
//插入 bool Insert(const pair<k, v>& kv) { if (_root == nullptr) { _root = new Node(kv); return true; } Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; //找插入位置 while (cur) { //插入元素大于比较元素 if (cur->_kv.first < kv.first) { parent = cur; //继续往右树走 cur = cur->_right; } else if (cur->_kv.first > kv.first) { parent = cur; //继续往左树走 cur = cur->_left; } else//插入元素于树中元素相等，不插入 { return false; } } cur = new Node(kv); //链接节点 if (parent->_kv.first > kv.first) { parent->_left = cur; //更新parent cur->_parent = parent; } else { parent->_right = cur; //更新parent cur->_parent = parent; } //更新平衡因子 while (parent)//parent为空，就更新到了根 { //新增在树节点左边，parent->bf-- //新增在树节点右边，parent->bf++ if (cur == parent->_left) { parent->_bf--; } else { parent->_bf++; } //是否要在更新平衡因子，要根据子树的高度： //1、如果parent->_bf==0,者说明以前的parent->_bf==-1或者parent->_bf==1 //即是以前是一边高一边低，现在是插入到矮的一边，树的高度不变，不更新 //2、如果parent->_bf==-1或者parent->_bf==-1，者以前parent->_bf==0 //即是以前树是均衡的，现在插入让一边高了 //子树的高度变了，要向上更新 //3 、如果parent->_bf==-2或者parent->_bf==2，者以前parent->_bf==-1或者parent->_bf==1 //现在树严重不平衡，让树旋转维持结构 //旋转： //1、让子树的高度差不差过1 //2、旋转过程中也要保存搜索树结构 //3、边更新平衡因子 //4、让这课树的高度保存和之前一样(旋转结束，不影响上层结构) if (parent->_bf == 0) { break; } else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1) { cur = parent; parent = parent->_parent; } //旋转 else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2) { //左单旋转 if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) { RotateL(parent); } //右单旋 else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) { RotateR(parent); } //左右双旋 else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) { RotateLR(parent); } //右左双旋 else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) { RotateRL(parent); } else { assert(false); } //旋转完成,平衡因子已经更新跳出循环 break; } else { assert(false); } } }
二、AVL树的旋转
如果parent->_bf==-2或者parent->_bf==2，者以前parent->_bf==-1或者parent->_bf==1
现在树严重不平衡，让树旋转维持结构：
旋转的要求：
- 让子树的高度差不差过1
- 旋转过程中也要保存搜索树结构
- 边更新平衡因子
- 让这课树的高度保存和之前一样(旋转结束，不影响上层结构)
旋转的分类：
- 新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋
- 新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋
- 新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋
- 新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋
1、右单旋
对于可能出现右旋转的情况的子树是多样的
这里我们可以根据需要进行右单旋转抽像图进行理解
代码实现：
//右单旋 void RotateR(Node* parent) { Node* subL = parent->_left; Node* subLR = subL->_right; //b做60的右 parent->_left = subLR; if (subLR) { subLR->_parent = parent; } Node* ppNode = parent->_parent; //60做30的右 subL->_right = parent; parent->_parent = subL; //60就是以前的根节点 if (ppNode == nullptr) { _root = subL; subL->_parent = ppNode; } else { //上层父节点的左边是子树的parent if (ppNode->_left == parent) { ppNode->_left = subL; } else { ppNode->_right = subL; } subL->_parent = ppNode; } //更新平衡因子 parent->_bf = subL->_bf = 0; }
2、左单旋
代码实现：
void RotateL(Node * parent) { Node* subR = parent->_right;//父节点的右子树 Node* subRL = subR->_left;//右树的左树 //让60左边链接到30的右边 parent->_right = subRL; if (subRL) { subRL->_parent = parent; } Node* ppNode = parent->_parent; //让30变成60的左边 subR->_left = parent; parent->_parent = subR; //subR就是根节点 if (ppNode == nullptr) { _root = subR; _root->_parent = nullptr; } else { //上层父节点的左边是子树的parent if (ppNode->_left == parent) { ppNode->_left = subR; } else { ppNode->_right = subR; } //子树父节点和上层父节点链接 subR->_parent = ppNode; } //更新平衡因子 parent->_bf = subR->_bf = 0; }
3、左右双旋
对于双旋转来说：节点新增的位置不同，平衡因子最终也会不同，这里我们要进行分类讨论：
对于双旋转来说，最为重要的平衡因子的更新。
代码实现：
//左右双旋 void RotateLR(Node* parent) { Node* subL = parent->_left; Node* subLR = subL->_right; //记录subLR的平衡因子 int bf = subLR->_bf; RotateL(parent->_left); RotateR(parent); //根据不同情况更新平衡因子 if (bf == 1)//在c点处新增(在subLR的右子树新增) { subLR->_bf = 0; parent->_bf = 0; subL->_bf = -1; } else if(bf == -1) // 在b点处新增(在subLR的左子树新增) { subLR->_bf = 0; subL->_bf = 0; parent->_bf = 1; } else if (bf == 0) //自己就是增点 { subLR->_bf = 0; parent->_bf = 0; subL->_bf = 0; } else { assert(false); } }
4、 右左双旋
这里同样也要进行分类讨论：
代码实现：
//右左双旋 void RotateRL(Node* parent) { Node* subR = parent->_right; Node* subRL = subR->_left; //记录subLR的平衡因子 int bf = subRL->_bf; RotateR (parent->_right); RotateL(parent); //根据不同情况更新平衡因子 if (bf == 1)//在c点处新增(在subLR的右子树新增) { subR->_bf = 0; subRL->_bf = 0; parent->_bf = -1; } else if (bf == -1) // 在b点处新增(在subLR的左子树新增) { subR->_bf = 1; subRL->_bf = 0; parent->_bf = 0; } else if (bf == 0) //自己就是增点 { subR->_bf = 0; subRL->_bf = 0; parent->_bf = 0; } else { assert(false); } }
三、AVL树的测试
为了测试我们模拟实现的AVL树是否成功，还需要进行检查
1、测试的补充代码
树的高度：
int Height() { return _Height(_root); } //求树的高度 int _Height(Node* root) { //树高度为0 if (root == nullptr) { return 0; } //递归求左树的高度 int Lh = _Height(root->_left); //递归求右树的高度 int Rh = _Height(root->_right); return Lh > Rh ? Lh + 1 : Rh + 1; }
检查平衡因子
//检测平衡因子 bool _IsBalance(Node* root) { if (root == nullptr) { return true; } int leftHeight = _Height(root->_left); int rightHeight = _Height(root->_right); if (rightHeight - leftHeight != root->_bf) { cout << root->_bf << endl; cout << rightHeight - leftHeight << endl; cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl; return false; } return abs(rightHeight - leftHeight) < 2 && _IsBalance(root->_left) && _IsBalance(root->_right); }
中序遍历
void InOrder()//这是为了解决在外面调用,不好传根的问题 { _InOrder(_root); } //中序遍历 void _InOrder(Node* root) { if (root == nullptr) return; _InOrder(root->_left); cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl; _InOrder(root->_right); }
2、测试
完整代码：
#pragma once #include<time.h> #include<assert.h> template<class k,class v> struct AVLTreeNode { pair<k, v>_kv; AVLTreeNode<k, v>* _left; AVLTreeNode<k, v>* _right; AVLTreeNode<k, v>* _parent; int _bf;//balance factor //带参数的构造函数 AVLTreeNode(const pair<k,v>& kv) :_kv(kv) ,_left(nullptr) ,_right(nullptr) ,_parent(nullptr) ,_bf(0) {} }; template<class k, class v> struct AVLTree { typedef AVLTreeNode<k,v> Node; public: //插入 bool Insert(const pair<k, v>& kv) { if (_root == nullptr) { _root = new Node(kv); return true; } Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; //找插入位置 while (cur) { //插入元素大于比较元素 if (cur->_kv.first < kv.first) { parent = cur; //继续往右树走 cur = cur->_right; } else if (cur->_kv.first > kv.first) { parent = cur; //继续往左树走 cur = cur->_left; } else//插入元素于树中元素相等，不插入 { return false; } } cur = new Node(kv); //链接节点 if (parent->_kv.first > kv.first) { parent->_left = cur; //更新parent cur->_parent = parent; } else { parent->_right = cur; //更新parent cur->_parent = parent; } //更新平衡因子 while (parent)//parent为空，就更新到了根 { //新增在树节点左边，parent->bf-- //新增在树节点右边，parent->bf++ if (cur == parent->_left) { parent->_bf--; } else { parent->_bf++; } //是否要在更新平衡因子，要根据子树的高度： //1、如果parent->_bf==0,者说明以前的parent->_bf==-1或者parent->_bf==1 //即是以前是一边高一边低，现在是插入到矮的一边，树的高度不变，不更新 //2、如果parent->_bf==-1或者parent->_bf==-1，者以前parent->_bf==0 //即是以前树是均衡的，现在插入让一边高了 //子树的高度变了，要向上更新 //3 、如果parent->_bf==-2或者parent->_bf==2，者以前parent->_bf==-1或者parent->_bf==1 //现在树严重不平衡，让树旋转维持结构 //旋转： if (parent->_bf == 0) { break; } else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1) { cur = parent; parent = parent->_parent; } //旋转 else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2) { //左单旋转 if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) { RotateL(parent); } //右单旋 else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) { RotateR(parent); } //左右双旋 else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) { RotateLR(parent); } //右左双旋 else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) { RotateRL(parent); } else { assert(false); } //旋转完成,平衡因子已经更新跳出循环 break; } else { assert(false); } } } void RotateL(Node * parent) { Node* subR = parent->_right;//父节点的右子树 Node* subRL = subR->_left;//右树的左树 //让60左边链接到30的右边 parent->_right = subRL; if (subRL) { subRL->_parent = parent; } Node* ppNode = parent->_parent; //让30变成60的左边 subR->_left = parent; parent->_parent = subR; //subR就是根节点 if (ppNode == nullptr) { _root = subR; _root->_parent = nullptr; } else { //上层父节点的左边是子树的parent if (ppNode->_left == parent) { ppNode->_left = subR; } else { ppNode->_right = subR; } //子树父节点和上层父节点链接 subR->_parent = ppNode; } //更新平衡因子 parent->_bf = subR->_bf = 0; } //右单旋 void RotateR(Node* parent) { Node* subL = parent->_left; Node* subLR = subL->_right; //b做60的右 parent->_left = subLR; if (subLR) { subLR->_parent = parent; } Node* ppNode = parent->_parent; //60做30的右 subL->_right = parent; parent->_parent = subL; //60就是以前的根节点 if (ppNode == nullptr) { _root = subL; subL->_parent = ppNode; } else { //上层父节点的左边是子树的parent if (ppNode->_left == parent) { ppNode->_left = subL; } else { ppNode->_right = subL; } subL->_parent = ppNode; } //更新平衡因子 parent->_bf = subL->_bf = 0; } //左右双旋 void RotateLR(Node* parent) { Node* subL = parent->_left; Node* subLR = subL->_right; //记录subLR的平衡因子 int bf = subLR->_bf; RotateL(parent->_left); RotateR(parent); //根据不同情况更新平衡因子 if (bf == 1)//在c点处新增(在subLR的右子树新增) { subLR->_bf = 0; parent->_bf = 0; subL->_bf = -1; } else if(bf == -1) // 在b点处新增(在subLR的左子树新增) { subLR->_bf = 0; subL->_bf = 0; parent->_bf = 1; } else if (bf == 0) //自己就是增点 { subLR->_bf = 0; parent->_bf = 0; subL->_bf = 0; } else { assert(false); } } //右左双旋 void RotateRL(Node* parent) { Node* subR = parent->_right; Node* subRL = subR->_left; //记录subLR的平衡因子 int bf = subRL->_bf; RotateR (parent->_right); RotateL(parent); //根据不同情况更新平衡因子 if (bf == 1)//在c点处新增(在subLR的右子树新增) { subR->_bf = 0; subRL->_bf = 0; parent->_bf = -1; } else if (bf == -1) // 在b点处新增(在subLR的左子树新增) { subR->_bf = 1; subRL->_bf = 0; parent->_bf = 0; } else if (bf == 0) //自己就是增点 { subR->_bf = 0; subRL->_bf = 0; parent->_bf = 0; } else { assert(false); } } int Height() { return _Height(_root); } //求树的高度 int _Height(Node* root) { //树高度为0 if (root == nullptr) { return 0; } //递归求左树的高度 int Lh = _Height(root->_left); //递归求右树的高度 int Rh = _Height(root->_right); return Lh > Rh ? Lh + 1 : Rh + 1; } bool IsAVLTree() { return _IsBalance(_root); } //检测平衡因子 bool _IsBalance(Node* root) { if (root == nullptr) { return true; } int leftHeight = _Height(root->_left); int rightHeight = _Height(root->_right); if (rightHeight - leftHeight != root->_bf) { cout << root->_bf << endl; cout << rightHeight - leftHeight << endl; cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl; return false; } return abs(rightHeight - leftHeight) < 2 && _IsBalance(root->_left) && _IsBalance(root->_right); } void InOrder()//这是为了解决在外面调用,不好传根的问题 { _InOrder(_root); } //中序遍历 void _InOrder(Node* root) { if (root == nullptr) return; _InOrder(root->_left); cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl; _InOrder(root->_right); } private: Node* _root = nullptr; }; void TestAVLTree1() { //int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 }; //int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 }; /*int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };*/ int a[] = { 30,60,90 }; AVLTree<int, int> t; for (auto e : a) { t.Insert(make_pair(e, e)); } t.InOrder(); cout << t.IsAVLTree() << endl; } void TestAVLTree2() { srand(time(0)); const size_t N = 100000; AVLTree<int, int> t; for (size_t i = 0; i < N; ++i) { size_t x = rand(); t.Insert(make_pair(x, x)); /*cout << t.IsAVLTree() << endl;*/ } cout << t.IsAVLTree() << endl; }
这里我们分别进行简单 TestAVLTree1()和用生成随机数字生成的数字进行测试TestAVLTree2()
如果成功就会打印1.
