树的概念及结构
树的概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
1.有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
2.除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
3.因此，树是递归定义的
这里大家要注意到一个点：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
例如：
以下几种情况都不是树
树的相关概念
上图是一棵树，我们用他来了解相关的定义：
节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林
树的表示
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法
typedef int DataType; struct Node { struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点 struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点 DataType _data; // 结点中的数据域 };
孩子兄弟表示法就是一个节点带着一个数据，一个孩子，一个兄弟
孩子指向下一层的第一个孩子节点，兄弟节点则指向右侧的同一层的兄弟节点
二叉树的概念及结构
二叉树的概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:
- 或者为空
- 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
你会发现二叉树的规则：
二叉树不存在度大于2的结点
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
但是二叉树也可以是空树或者只有一个节点
特殊的二叉树
- 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
- 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树
满二叉树一定是完全二叉树！
二叉树的性质
- 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点.
- 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是( 2^h)-1
- 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有 n0 = n2 +1
- 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= log2(n+1) (ps： 是log以2为底，n+1为对数)
二叉树的存储结构
二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构
顺序存储
顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
链式存储过于复杂，这里不做过多的讲解
堆的实现
这里我们用顺序结构来实现，和堆一起
堆的概念及结构
堆其实就是一颗二叉树：
堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
堆总是一棵完全二叉树
其节点总是大于父节点的值就是小堆
节点的值总是小于父节点的值就是大堆
现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整
下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。
向下调整算法
我们用父节点开始调整，如果当父节点的值小于子节点的值时我们就将其交换（此处的算法时调整为小堆）
代码实现如下：
void Swap(HPDataType* a, HPDataType* b) { HPDataType temp = *a; *a = *b; *b = temp; } void Adjustdown(HPDataType* a, int n, int parent) { int child = parent * 2 + 1;; while (child < n) { if ((child + 1) < n && a[child] < a[child + 1]) { child++; } if (a[child] > a[parent]) { Swap(&a[parent], &a[child]); parent = child;; child = parent * 2 + 1; } else { break; } } }
堆的初始化
初始化小菜一碟了
void HeapInit(Heap* hp) { assert(hp); hp->a = NULL; hp->capacity = 0; hp->size = 0; }
堆的销毁
销毁也是轻车熟路了
void HeapDestory(Heap* hp) { assert(hp); free(hp->a); hp->a = NULL; hp->capacity = 0; hp->size = 0; }
判断堆是否为空
直接看size是否为0即可
int HeapEmpty(Heap* hp) { assert(hp); return hp->size == 0; }
返回堆顶元素
直接返回数组首元素（记得判断是否为就空）
HPDataType HeapTop(Heap* hp) { assert(hp); assert(!HeapEmpty(hp)); return hp->a[0]; }
堆增加元素
增加元素前我们首先判断数组是否已满，看是否需要扩容
然后将数组size位置赋值，同时size++，然后再用向下（上）调整算法
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x) { assert(hp); if (hp->size == hp->capacity) { int newcapacity = hp->capacity == 0 ? 4 : hp->capacity * 2; HPDataType* temp = (HPDataType*)realloc(hp->a, sizeof(HPDataType) * newcapacity); if (temp == NULL) { perror("realloc"); return; } hp->a = temp; hp->capacity = newcapacity; } hp->a[hp->size] = x; hp->size++; Adjustup(hp->a, hp->size - 1); }
堆删除元素（堆顶）
栈的删除元素不能直接删除，因为因为直接删除头部元素后，父子关系全乱了，还需要重新建堆，所以我们首先进行首位交换，然后删除掉后面的的元素，再调整堆
void HeapPop(Heap* hp) { assert(hp); assert(!HeapEmpty(hp)); Swap(&hp->a[0], &hp->a[hp->size - 1]);//先交换首尾 hp->size--;//再删除 Adjustdown(hp->a, hp->size, 0);//再重新排栈 }
堆的实现完整代码如下：
void HeapInit(Heap* hp) { assert(hp); hp->a = NULL; hp->capacity = 0; hp->size = 0; } void HeapDestory(Heap* hp) { assert(hp); free(hp->a); hp->a = NULL; hp->capacity = 0; hp->size = 0; } int HeapEmpty(Heap* hp) { assert(hp); return hp->size == 0; } HPDataType HeapTop(Heap* hp) { assert(hp); assert(!HeapEmpty(hp)); return hp->a[0]; } void Swap(HPDataType* a, HPDataType* b) { HPDataType temp = *a; *a = *b; *b = temp; } void Adjustup(HPDataType* a, int child) { int parent = (child - 1) / 2; while (child > 0) { if (a[child] > a[parent]) { Swap(&a[child], &a[parent]); child = parent; parent = (child - 1) / 2; } else { break; } } } void Adjustdown(HPDataType* a, int n, int parent) { int child = parent * 2 + 1;; while (child < n) { if ((child + 1) < n && a[child] < a[child + 1]) { child++; } if (a[child] > a[parent]) { Swap(&a[parent], &a[child]); parent = child;; child = parent * 2 + 1; } else { break; } } } void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x) { assert(hp); if (hp->size == hp->capacity) { int newcapacity = hp->capacity == 0 ? 4 : hp->capacity * 2; HPDataType* temp = (HPDataType*)realloc(hp->a, sizeof(HPDataType) * newcapacity); if (temp == NULL) { perror("realloc"); return; } hp->a = temp; hp->capacity = newcapacity; } hp->a[hp->size] = x; hp->size++; Adjustup(hp->a, hp->size - 1); } void HeapPop(Heap* hp) { assert(hp); assert(!HeapEmpty(hp)); Swap(&hp->a[0], &hp->a[hp->size - 1]);//先交换首尾 hp->size--;//再删除 Adjustdown(hp->a, hp->size, 0);//再重新排栈 }
好了，本篇博客到此结束，谢谢大家的支持！
