1. 什么是程序性能
程序性能指的是程序在执行过程中所消耗的时间和资源的多少。一个好的程序应该能够在较短的时间内完成所需的任务，并且尽可能地利用少量的资源。
2. 空间复杂度
空间复杂度是用来衡量一个算法在执行过程中所需的存储空间的大小。它表示算法在解决问题时所使用的额外空间的量级。
2.1 空间复杂度的组成
空间复杂度由两部分组成：固定空间和可变空间。
固定空间是指在算法执行中所固定需要的空间，不随输入规模的增加而改变。例如，算法中预先定义的变量、常量和函数等。
可变空间是指在算法执行过程中根据输入规模的增加而增加或减少的空间。例如，动态数组、栈、堆等数据结构所需的空间。
2.2 举例
以下是一个计算斐波那契数列的算法示例，其中包含了对空间复杂度的分析和代码解析。
```cpp
#include <iostream>
using namespace std;
int fibonacci(int n) {
if (n <= 1)
return n;
int *fib = new int[n+1]; // 动态数组所需的空间是可变空间
fib[0] = 0;
fib[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2];
}
int result = fib[n];
delete[] fib; // 释放动态数组的空间
return result;
}
int main() {
int n;
cout << "Enter a number: ";
cin >> n;
int result = fibonacci(n);
cout << "The Fibonacci number at position " << n << " is " << result << endl;
return 0;
}
```
代码解析：
- 函数fibonacci实现了计算斐波那契数列第n个数的功能。
- 在这个算法中，我们定义了一个动态数组fib来存储计算过程中的中间结果。由于数组长度是根据输入规模n的大小而变化的，所以它属于可变空间。
- 在计算完成后，我们通过delete[]来释放动态数组fib所占用的空间，以免造成内存泄漏。
代码运行结果示例：
```cpp
Enter a number: 6
The Fibonacci number at position 6 is 8
```
3.1 时间复杂度的组成
时间复杂度是用来衡量一个算法在执行过程中所需的时间的大小。它表示算法在解决问题时所执行的基本操作数量的量级。
时间复杂度由以下几部分组成：
1. 常数操作：常数操作是指执行一次的操作，不随输入规模的增加而改变。例如，赋值操作、比较操作等。
2. 循环操作：循环操作是指执行了多次的操作，其执行次数由循环语句中的条件控制。
3. 递归操作：递归操作是指一个函数在执行过程中调用了自身。
2.3.2 操作计数
操作计数是指通过对算法中各种操作进行计数，来衡量算法的时间复杂度。常见的操作有赋值操作、加法操作、乘法操作等。
在计算操作计数时，常数操作的计数值通常为1，循环和递归操作的计数值则取决于实际执行的次数。
以计算斐波那契数列为例，以下是一个算法示例，其中包含了对操作计数的分析和代码解析。
```cpp
#include <iostream>
using namespace std;
int fibonacci(int n, int& count) {
count++; // 计数，记录操作的次数
if (n <= 1)
return n;
int a = 0;
int b = 1;
int result;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
result = a + b;
a = b;
b = result;
count += 3; // 计数，记录操作的次数
}
return result;
}
int main() {
int n;
cout << "Enter a number: ";
cin >> n;
int count = 0;
int result = fibonacci(n, count);
cout << "The Fibonacci number at position " << n << " is " << result << endl;
cout << "The number of operations performed is " << count << endl;
return 0;
}
```
代码解析：
- 函数fibonacci实现了计算斐波那契数列第n个数的功能，并通过引用参数count记录操作的次数。
- 在这个算法中，除了常数操作（赋值、计数）外，循环操作（赋值、加法）也需要计数。
- 计算完成后，我们输出操作的次数，以便观察算法的时间复杂度。
代码运行结果示例：
```
Enter a number: 6
The Fibonacci number at position 6 is 8
The number of operations performed is 13
```
3.3 最好、最坏和平均操作计数
在分析算法的时间复杂度时，除了关注最坏情况下的操作计数外，还应考虑最好和平均情况。
最好情况指的是在所有输入数据中，算法所需的操作数量最少的情况。
最坏情况指的是在所有输入数据中，算法所需的操作数量最多的情况。
平均情况指的是在所有可能的输入数据中，算法所需的操作数量的平均值。
通过对最好、最坏和平均情况下操作计数的分析，可以更全面地了解算法的时间复杂度。
3.4 步数
在算法分析中，步数是指计算机执行算法所需的元素操作次数。
元素操作是指算法在处理输入中的每个数据元素时所执行的操作。
通过计算算法的步数，可以更详细地了解算法的执行过程和复杂度。
