推荐系统的数学模型-从矩阵分解到推荐系统（Scala实现）

词汇：

Matrix Factorization 矩阵分解

Recommendation System 推荐系统

User 用户 Feature 特征 Item 物品

简介：

不论有没有觉察到，互联网的搜索模式在近几年已经发生了颠覆性的变化。如果说是十年前叫做百度模式，那今天可以被称之为头条模式。两者的区别在于，百度模式提供一个入口，让用户按照自己的需求查询关心的内容（各种广告暂不考虑），头条是按照用户的搜索历史及浏览记录，推送与之相似的内容，如此，用户可以投入更少的精力，更大概率的得到符合自己喜好的节目。

这篇文章不讨论两种模式孰优孰劣，或者谁更有发展前景，只是从纯技术的角度，分析实现推荐系统的数学模型。

业务场景：

假设我们在豆瓣上获取了一组用户评分，我们整理了四位用户 的评分信息，整理如下：

这里面 - 表示用户对某部电影没有相应的评分记录，可以理解成用户并没有看过这部电影，这部电影具有潜在推荐价值。

面对这样一组数据，你最直接的反应是什么？

我们先对这些电影打一个粗略的标签：

如果我们把李雷和Jim Green分成一组，韩梅梅和Lucy分成一组，会发现同一组的成员对电影的喜好更为一致。那么，我们可不可以这样操作，将李雷看过但是Jim Green没有看过的电影推荐给Jim Green，对其他人也采取相同的推荐方法。

这正是推荐系统要实现的。就好比两个好朋友互相推荐或者相约去电影院一样。唯一不同的地方就是，这里的两个人可能完全不知道对方的存在，但是通过推荐系统，我们帮助他们建立了”品味相近的朋友关系“。

引入特征：

接下来，我们在 用户user 和 物品item（在上面的例子中就是电影）引入特征 feature，并且将 user 对具体 item 的喜好转换成 user 对具有某一类特征的item具有倾向性，也就是说，如果两个 user 对相同的特征具有倾向性，那么他们也大概率会喜欢彼此关注的具有这类feature 的 item。feature可以是各种因素，比如两个 user 都喜欢同一个明星，或者喜欢某一种导演的风格。在我们的分析中，我们不会挖掘究竟 user 是被哪一种 feature 吸引。

此外，我们还假设每一次分析，feature的个数都要小于 user 的个数以及 item 的个数。理由如下：我们不会考虑每一个 user 都只关心一种 feature，而不会和别的 user 共同关注一个feature的情况。否则的话，推荐就毫无意义，因为每一个 user 都对其他 user 关注的 item 毫无兴趣。对于 item 而言，也是一样的道理。

矩阵分解：

假设我们获得了  user-item 矩阵，R: |U|✖|D|, |U| 表示 user 的个数，|D| 表示 item 的个数。元素  表示第i个user对第j个item的评分，如果用户对某一个产品没有评分，设为0。

接下来，我们将矩阵 R 分解成 user-feature 和 feature-item 矩阵的乘积：

✖

P ：|U|✖|K|，|K| 表示 feature 的个数，元素  表示第i个user对第k个feature的喜好程度；

Q：|K|✖|D|，|K| 表示 feature 的个数，元素  表示第第j个item对第k个feature的符合程度。item-feature关联矩阵为 ，求出Q之后，一般还要做一次转置或者item-feature矩阵。

对于  中的每一个因子，有

我们希望R 和  尽可能的接近，因为每一个元素的差异可能为正，可能为负，我们采用所有元素差值的平方和作为R 和  差异的表征。

接下来就要用到梯度下降法了，以,  为自变量，求梯度。一个多元函数的梯度表示这个函数值增长最快的方向，因此如果要求这个函数的最小值，只要每次都沿着梯度的反方向移动就行。

计算梯度如下：

每次移动的步长取α = 0.002，如果α 取得太大，可能会越过最小值，结果就是在最小值附近来回跳动。

对于总偏差，有如下公式：

我们在初始化 user item 矩阵时，对于 user 没有评分的 item 直接赋值为 0。这样就会产生一个问题，当矩阵P ✖ Q 不断逼近 R 时，未评分项都会趋近于0。产生的结果就是 user 对这个 item 没有任何兴趣。实际应用中，我们并不会让P Q的乘积和R一模一样。相反，我们只是试图减少已经评分的 user - item 的偏差值。比如我们将所有已经评分的 (user，item，rating) 组成一个集合T（T也是常说的训练数据 training data），我们需要的是对这个集合内的元素偏差 之和 尽可能的小。而对于那些未知的评分，一旦我们通过已知项计算出了矩阵P，Q，自然可以计算出结果。

基于以上分析，我们将偏差 e 的定义域重新现在在集合T上，由此得到偏差的表达式为：

正则化

上面的算法是分解矩阵最基础的算法。还有更多的分解方法，当然这些方法也会更复杂。一个常用的扩展方法是，通过正则化避免过度拟合。这个方法是通过增加参数β和调节平方差实现的：

新参数 β 用来控制空值 user-feature 和 item-feature 向量的量级，这样不需要包含大数字就可以较好的近似R。在实际应用中，β 一般被设置为0.02。通过类似的步骤，更新的平方差公式如下：

Scala 代码实现

只是为了展示推荐算法的原理，代码采用未经过正则化处理的公式。

package pers.machi
import java.io.{File, PrintWriter}import breeze.linalg.DenseMatriximport breeze.linalg._
object RecomendationSystem {  def main(args: Array[String]): Unit = {    val v1 = Array[Double](9.0, 0, 0, 8.5, 7.0, 2.0, 6.5, 8.0, 0, 0)    val v2 = Array[Double](0, 9.5, 9.0, 2.0, 0, 9.0, 9.3, 0, 9.5, 0)    val v3 = Array[Double](9.5, 2, 8.0, 9.0, 0, 7.0, 0, 8.0, 6.0, 6.0)    val v4 = Array[Double](3.0, 10.0, 0, 4.0, 8.5, 0, 9.5, 4.0, 0, 0)    // R是评分矩阵 val R = DenseMatrix(Array(v1, v2, v3, v4): _*)
    val N: Int = R.rows    val M: Int = R.cols        // 假设有三个feature会对user的喜好造成影响    val K: Int = 3
  // 步长    val alpha = 0.002
  // 随机初始化P Q两个矩阵    var P: DenseMatrix[Double] = DenseMatrix.rand(N, K)    var Q: DenseMatrix[Double] = DenseMatrix.rand(K, M)
  // 开始循环    while (true) {      var R_ = P * Q            // 偏差矩阵，如果用户评分为零，表示用户没有看过这个电影，对应的偏差值为0      val E = R.mapPairs((t, v) => {        if (v == 0)          0        else {          v - R_.valueAt(t._1, t._2)        }      }      )        // 求偏差矩阵平方和，平方和小于0.1时，退出循环，打印输出结果      val s = sum(E.map(e => e * e))      if (s < 0.1) {        val writer = new PrintWriter(new File("D:\\saveTextTitle.txt"))        writer.println(R_.toString(100, 1000000))        writer.close()        System.exit(0)      }        // 每次对P进行更新      P = P.mapPairs((t, v) => {        v + alpha * 2 * E(t._1, ::).inner.dot(Q(t._2, ::).inner)      })       // 每次对Q进行更新      Q = Q.mapPairs((t, v) => {        v + alpha * 2 * E(::, t._2).dot(P(::, t._1))      })    }  }}

结果分析

加粗的评分是我们通过算法预计得到。可以抓取几组数据做个简单的说明：

韩梅梅和Lucy具有相近的偏好，李雷和Jim Green具有相近的偏好。因此，Lucy不喜欢第一滴血，预测韩梅梅对第一滴血的评分也较低。对于风月俏佳人，李雷的评分也较低。可见，尽管我们使用的算法很粗糙，但是其结果还具有一定参考价值。

扩展

如果能和Spark流计算整合，某一时间段内所有用户做相互推荐，或许能实现较好的推荐效果。