1.背景条件
要求：对于未知模型（函数表达式未知）求解极值。
条件：已知模型的一些输入输出数据。
程序的示例是根据用神经网络遗传算法寻优非线性函数 y = x 1 2 + x 2 2 y = x_1^2+x_2^2y=x12+x22 的极值，输入参数有2个，输出参数有1个，易知函数有极小值0，极小值点为(0, 0)。已知的只有一些输入输出数据（用rand函数生成输入，然后代入表达式生成输出）：
for i=1:4000 input(i,:)=10*rand(1,2)-5; output(i)=input(i,1)^2+input(i,2)^2; end
2.RBF神经网络函数说明
newrbe()
RBF神经网络参数设置函数（严格(exact)RBF网络函数）
函数形式：
net = newrbe(P,T,spread)
P:输入数据矩阵。
T:输出数据矩阵。
spread：径向基函数的扩展速度。默认为1。RBF神经网络和GRNN网络一样，都有一个 spread 参数，GRNN神经网络其实是RBF神经网络的一种变形。
例如：
net=newrbe(inputn,outputn,0.1)
newrbe()构建网络结构时，隐含层节点数与输入向量的个数是相同的。
newrbe()
近似(approximate)RBF网络函数
函数形式：
[net,tr]=newrb(P,T,GOAL,SPREAD,MN,DF)
P: 由输入向量构成的 R * Q 矩阵。
T: 由期望输出向量构成的 S * Q 维矩阵。
Goal:标量，记为均方误差目标(Mean Squard Error Goal)，默认值为0；
spread:标量，记为基函数的扩散速度，默认值为1；
MN:神经网络中各神经元的隐含节点最大数目，默认值为Q；
DF:两次显示之间所添加的神经元个数，默认值为25；
例如：
net=newrb(inputn,outputn)
用 newrb() 创建 RBF网络是一个不断尝试的过程，在创建过程中，需要不断增加中间层神经元和个数，直到网络的输出误差满足预先设定的值为止。
radbas()
径向基传递函数
A=radbas(N)
其中N是输入（列）向量的SQ维矩阵，A为函数返回SQ矩阵，表示对N的计算结果，即N中的元素都是通过径向基函数得到的。
3.近似RBF神经网络
%% 清空环境变量 clc tic %% 载入数据 load data %从1到4000间随机排序 k=rand(1,4000); [m,n]=sort(k); %划分训练数据和预测数据 input_train=input(n(1:3900),:)'; output_train=output(n(1:3900),:)'; input_test=input(n(3901:4000),:)'; output_test=output(n(3901:4000),:)'; [inputn,inputps]=mapminmax(input_train); [outputn,outputps]=mapminmax(output_train); %% RBF网络训练 % %初始化网络结构 net=newrb(inputn,outputn); % 近似RBF网络 %% RBF网络预测 %预测数据归一化 inputn_test=mapminmax('apply',input_test,inputps); %网络预测输出 an=sim(net,inputn_test); %网络输出反归一化 RBFoutput=mapminmax('reverse',an,outputps); %% 结果分析 error=output_test-RBFoutput; errorsum=sum(abs(error)) toc save data net inputps outputps
运行之后得到：（ctrl + C 中止）
当隐藏层神经元个数为50的时候，误差已经很小了。
4.完整代码
data.m
用于生成神经网络拟合的原始数据。
for i=1:4000 input(i,:)=10*rand(1,2)-5; output(i)=input(i,1)^2+input(i,2)^2; end output=output'; save data input output
RBF.m
用函数输入输出数据训练RBF神经网络，使训练后的网络能够拟合非线性函数输出，保存训练好的网络用于计算个体适应度值。根据非线性函数方程随机得到该函数的4000组输入输出数据，存储于data中，其中input为函数输入数据，output为函数对应输出数据，从中随机抽取3900组训练数据训练网络，100组测试数据测试网络拟合性能。最后保存训练好的网络。
%% 清空环境变量 clc tic %% 载入数据 load data %从1到4000间随机排序 k=rand(1,4000); [m,n]=sort(k); %划分训练数据和预测数据 input_train=input(n(1:3900),:)'; output_train=output(n(1:3900),:)'; input_test=input(n(3901:4000),:)'; output_test=output(n(3901:4000),:)'; [inputn,inputps]=mapminmax(input_train); [outputn,outputps]=mapminmax(output_train); %% RBF网络训练 % %初始化网络结构 net=newrbe(inputn,outputn,0.1); % 严格RBF网络 %net=newrb(inputn,outputn); % 近似RBF网络 view(net) %% RBF网络预测 %预测数据归一化 inputn_test=mapminmax('apply',input_test,inputps); %网络预测输出 an=sim(net,inputn_test); %网络输出反归一化 RBFoutput=mapminmax('reverse',an,outputps); %% 结果分析 error=output_test-RBFoutput; errorsum=sum(abs(error)) figure(1); plot(RBFoutput,':og'); hold on plot(output_test,'-*'); legend('Predictive output','Expected output','fontsize',10); title('RBF network output','fontsize',12); xlabel("samples",'fontsize',12); figure(2); plot(error,'-*'); title('RBF Neural network prediction error'); xlabel("samples",'fontsize',12); figure(3); plot(100*(output_test-RBFoutput)./output_test,'-*'); title('RBF Neural network prediction error percentage (%)'); xlabel("samples",'fontsize',12); toc save data net inputps outputps
Code.m
编码成染色体。
function ret=Code(lenchrom,bound) %本函数将变量编码成染色体，用于随机初始化一个种群 % lenchrom input : 染色体长度 % bound input : 变量的取值范围 % ret output: 染色体的编码值 flag=0; while flag==0 pick=rand(1,length(lenchrom)); ret=bound(:,1)'+(bound(:,2)-bound(:,1))'.*pick; %线性插值，编码结果以实数向量存入ret中 flag=test(lenchrom,bound,ret); %检验染色体的可行性 end
fun.m
把训练好的RBF神经网络预测输出作为个体适应度值。
function fitness = fun(x) % 函数功能：计算该个体对应适应度值 % x input 个体 % fitness output 个体适应度值 % load data net inputps outputps %数据归一化 x=x'; inputn_test=mapminmax('apply',x,inputps); %网络预测输出 an=sim(net,inputn_test); %网络输出反归一化 fitness=mapminmax('reverse',an,outputps);
对于求极小值的函数，适应度可以设为RBF网络预测结果，如果需要求极大值，可以对适应度取反。
Select.m
选择操作采用轮盘赌法从种群中选择适应度好的个体组成新种群。
function ret=select(individuals,sizepop) % 本函数对每一代种群中的染色体进行选择，以进行后面的交叉和变异 % individuals input : 种群信息 % sizepop input : 种群规模 % ret output : 经过选择后的种群 fitness1=1./individuals.fitness; sumfitness=sum(fitness1); sumf=fitness1./sumfitness; index=[]; for i=1:sizepop %转sizepop次轮盘 pick=rand; while pick==0 pick=rand; end for i=1:sizepop pick=pick-sumf(i); if pick<0 index=[index i]; break; %寻找落入的区间，此次转轮盘选中了染色体i，注意：在转sizepop次轮盘的过程中，有可能会重复选择某些染色体 end end end individuals.chrom=individuals.chrom(index,:); individuals.fitness=individuals.fitness(index); ret=individuals;
Cross.m
交叉操作从种群中选择两个个体，按一定概率交叉得到新个体。
function ret=Cross(pcross,lenchrom,chrom,sizepop,bound) %本函数完成交叉操作 % pcorss input : 交叉概率 % lenchrom input : 染色体的长度 % chrom input : 染色体群 % sizepop input : 种群规模 % ret output : 交叉后的染色体 for i=1:sizepop %每一轮for循环中，可能会进行一次交叉操作，染色体是随机选择的，交叉位置也是随机选择的，%但该轮for循环中是否进行交叉操作则由交叉概率决定（continue控制） % 随机选择两个染色体进行交叉 pick=rand(1,2); while prod(pick)==0 pick=rand(1,2); end index=ceil(pick.*sizepop); % 交叉概率决定是否进行交叉 pick=rand; while pick==0 pick=rand; end if pick>pcross continue; end flag=0; while flag==0 % 随机选择交叉位 pick=rand; while pick==0 pick=rand; end pos=ceil(pick.*sum(lenchrom)); %随机选择进行交叉的位置，即选择第几个变量进行交叉，注意：两个染色体交叉的位置相同 pick=rand; %交叉开始 v1=chrom(index(1),pos); v2=chrom(index(2),pos); chrom(index(1),pos)=pick*v2+(1-pick)*v1; chrom(index(2),pos)=pick*v1+(1-pick)*v2; %交叉结束 flag1=test(lenchrom,bound,chrom(index(1),:)); %检验染色体1的可行性 flag2=test(lenchrom,bound,chrom(index(2),:)); %检验染色体2的可行性 if flag1*flag2==0 flag=0; else flag=1; end %如果两个染色体不是都可行，则重新交叉 end end ret=chrom;
test.m
检验染色体的可行性。
function flag=test(lenchrom,bound,code) % lenchrom input : 染色体长度 % bound input : 变量的取值范围 % code output: 染色体的编码值 x=code; %先解码 flag=1; if (x(1)<bound(1,1))&&(x(2)<bound(2,1))&&(x(1)>bound(1,2))&&(x(2)>bound(2,2)) flag=0; end
Mutation.m
变异操作从种群中随机选择一个个体，按一定概率变异得到新个体。
function ret=Mutation(pmutation,lenchrom,chrom,sizepop,pop,bound) % 本函数完成变异操作 % pcorss input : 变异概率 % lenchrom input : 染色体长度 % chrom input : 染色体群 % sizepop input : 种群规模 % opts input : 变异方法的选择 % pop input : 当前种群的进化代数和最大的进化代数信息 % ret output : 变异后的染色体 for i=1:sizepop %每一轮for循环中，可能会进行一次变异操作，染色体是随机选择的，变异位置也是随机选择的， %但该轮for循环中是否进行变异操作则由变异概率决定（continue控制） % 随机选择一个染色体进行变异 pick=rand; while pick==0 pick=rand; end index=ceil(pick*sizepop); % 变异概率决定该轮循环是否进行变异 pick=rand; if pick>pmutation continue; end flag=0; while flag==0 % 变异位置 pick=rand; while pick==0 pick=rand; end pos=ceil(pick*sum(lenchrom)); %随机选择了染色体变异的位置，即选择了第pos个变量进行变异 v=chrom(i,pos); v1=v-bound(pos,1); v2=bound(pos,2)-v; pick=rand; %变异开始 if pick>0.5 delta=v2*(1-pick^((1-pop(1)/pop(2))^2)); chrom(i,pos)=v+delta; else delta=v1*(1-pick^((1-pop(1)/pop(2))^2)); chrom(i,pos)=v-delta; end %变异结束 flag=test(lenchrom,bound,chrom(i,:)); %检验染色体的可行性 end end ret=chrom;
Genetic.m
%% 清空环境变量 clc % clear %% 初始化遗传算法参数 %初始化参数 maxgen=100; %进化代数，即迭代次数 sizepop=20; %种群规模 pcross=[0.4]; %交叉概率选择，0和1之间 pmutation=[0.2]; %变异概率选择，0和1之间 lenchrom=[1 1]; %每个变量的字串长度，如果是浮点变量，则长度都为1 bound=[-5 5;-5 5]; %数据范围 individuals=struct('fitness',zeros(1,sizepop), 'chrom',[]); %将种群信息定义为一个结构体 avgfitness=[]; %每一代种群的平均适应度 bestfitness=[]; %每一代种群的最佳适应度 bestchrom=[]; %适应度最好的染色体 %% 初始化种群计算适应度值 % 初始化种群 for i=1:sizepop %随机产生一个种群 individuals.chrom(i,:)=Code(lenchrom,bound); x=individuals.chrom(i,:); %计算适应度 individuals.fitness(i)=fun(x); %染色体的适应度 end %找最好的染色体 [bestfitness bestindex]=min(individuals.fitness); bestchrom=individuals.chrom(bestindex,:); %最好的染色体 avgfitness=sum(individuals.fitness)/sizepop; %染色体的平均适应度 % 记录每一代进化中最好的适应度和平均适应度 trace=[avgfitness bestfitness]; %% 迭代寻优 % 进化开始 for i=1:maxgen i % 选择 individuals=Select(individuals,sizepop); avgfitness=sum(individuals.fitness)/sizepop; % 交叉 individuals.chrom=Cross(pcross,lenchrom,individuals.chrom,sizepop,bound); % 变异 individuals.chrom=Mutation(pmutation,lenchrom,individuals.chrom,sizepop,[i maxgen],bound); % 计算适应度 for j=1:sizepop x=individuals.chrom(j,:); %解码 individuals.fitness(j)=fun(x); end %找到最小和最大适应度的染色体及它们在种群中的位置 [newbestfitness,newbestindex]=min(individuals.fitness); [worestfitness,worestindex]=max(individuals.fitness); % 代替上一次进化中最好的染色体 if bestfitness>newbestfitness bestfitness=newbestfitness; bestchrom=individuals.chrom(newbestindex,:); end individuals.chrom(worestindex,:)=bestchrom; individuals.fitness(worestindex)=bestfitness; avgfitness=sum(individuals.fitness)/sizepop; trace=[trace;avgfitness bestfitness]; %记录每一代进化中最好的适应度和平均适应度 end %进化结束 %% 结果分析 [r c]=size(trace); plot([1:r]',trace(:,2),'r-'); title('适应度曲线','fontsize',12); xlabel('进化代数','fontsize',12);ylabel('适应度','fontsize',12); disp('适应度 变量'); x=bestchrom; % 窗口显示 disp([bestfitness x]);
5.代码使用说明
上述代码运行顺序
data.m 生成数据（如果已有 input output 数据可跳过），
RBF.m 进行RBF神经网络训练及函数拟合，
Genetic.m（主函数）利用遗传算法求极值。
求最大值的方法
上述代码用于求解最小值，对于求解最大值的需求，可以在适应度函数里面，对适应度计算结果求反，把求解最大值的问题转化为求解最小值的问题。
例如：对于非线性函数 y = − ( x 1 2 + x 2 2 ) + 4 y = -(x_1^2+x_2^2)+4y=−(x12+x22)+4 ：
for i=1:4000 input(i,:)=10*rand(1,2)-5; output(i)=-(input(i,1)^2+input(i,2)^2)+4; end
求最大值时，需要在 fun.m 里面，修改最后一行代码：
fitness=-mapminmax('reverse',an,outputps);
注意：每次运行结果不尽相同。
6.代码运行结果
对 y = x 1 2 + x 2 2 y = x_1^2+x_2^2y=x12+x22 求极小值
RBF神经网络拟合
运行RBF.m之后：
输出：
errorsum = 0.0013 历时 9.232266 秒。
注意：每次运行结果不尽相同。
遗传算法寻优
运行主函数 Genetic.m之后：
输出：
... i = 100 适应度 变量 0.0001 -0.0042 0.0074 历时 20.067215 秒。
最终结果最优个体为（-0.0042，0.0074），适应度为 0.0001。
注意：每次运行结果不尽相同。
资源下载
参考
《MATLAB神经网络30个案例分析》
