基于矩阵分解算法的图书推荐系统实战
推荐系统
推荐系统，可以根据用户的喜好来推荐给用户不同的事物。
推荐系统类型：
- 纯手工设置推荐内容
- 根据物品的销量，曝光率等来排序物品，并推荐给用户
- 根据不同的算法，整合不同维度的数据，来智能的推荐物品
简单的推荐系统模型
设：
U 为所有用户集合
P 为所有物品集合
R 为用户对物品的喜好程度
模型 Model(R) = U * P
算法核心：
通过用户对不同物品的打分，来预测用户对其他物品的喜好程度。此处并没有考虑用户和物品的属性，如：用户年龄，性别，学历，工作等，物品价格，品类，外观等。
通过用户对物品的打分，可以建立一个推荐值矩阵，之后就可以通过运算该矩阵来预测用户喜好，即为矩阵分解算法！
矩阵分解：
将推荐值矩阵 R 分解为矩阵 U 和 矩阵 P，使得 U 和 P 的乘积得到的新矩阵 R* 中的元素与 R 中的已知元素的值非常接近，那么 R* 中对应于 R 中的未知元素的值就是预测值。
推荐值矩阵：
| 时间简史 | 万历三十年 | 大秦帝国 | 红楼梦 | 数学简史 | |
| 小明 | 1 | 4 | 1 | ||
| 小王 | 2 | 2 | 4 | ||
| 小李 | 4 | 1 | 4 | ||
| 小张 | 5 | 1 | 4 |
推荐值矩阵关键性问题：
- 初始值获取，数据的收集
- 从推荐值矩阵中已知数据预测未知数据
- 建立评价系统，用于检验推荐系统的效果
收集数据
一般可以采取网络爬虫的方式，比如对于数据的评分，可以爬取豆瓣读书上的数据，也可以在自己可以控制的网站上做埋点等来收集用户信息。
预测未知数据
关键挑战：
- 当用户和物品的数量都比较大时，推荐之矩阵通常会是一个稀疏矩阵（在矩阵中，若数值为0的元素数目远远多于非0元素的数目，并且非0元素分布没有规律时，则称该矩阵为稀疏矩阵），说明大多数用户可能并没有对大多数物品表达喜好。
- 冷启动问题，是每一个推荐系统都需要面对的问题。
矩阵分解实例：
即：
对比最左侧的元素矩阵和最右侧的预测矩阵，预测矩阵中位于原始矩阵缺失数值位置的元素值，即为预测值。
同时也可以得到
即：对于在 ij 位置上的物品的喜好数据，可以通过第 i 个用户的画像向量和第 j 个物品的画像向量代表。
使用图形表示如下：
其中 k 在数学上的意义为矩阵分解的秩，在业务上的意义为 影响用户给物品评分的 k 个影响因子，当前我们无法直接知道 k 的值，在模型训练时，一般采取交叉验证的方式来寻找最优的 k 值。
我们可以使用“和方差”来作为损失函数
这里通过已知的{r(ij)}，计算“和方差”，使之达到最小，即预测值越接近真实值。以此得出的 U 和 P 的值就是我们需要的值。
损失函数的梯度
单独取出误差
对误差 L 分别在 U 和 P 上求导可得
现在我们已经知道了损失函数的梯度（导数），下面就可以使用梯度下降法来求解 U 和 P 的值。
梯度下降法
随机选取一个起始点，然后在负梯度的方向上持续训练，直到损失函数的梯度越来越接近零，此时即可取得最优解。
引入正则化
为了防止过拟合的发生，对损失函数加入正则化参数
λ>0
这样，当 U 和 P 都保证比较小的情况下，U 或者 P 的数值剧烈变化时，U 和 P 的点积也不会有太大的变化。
最终的损失函数为：
最终损失函数的梯度为：
运用梯度下降法求最优解
设定梯度下降的速率 γ（学习速率）和 k 值，并随机初始化 U 和 P，重复训练，直到误差满意为止。
评估推荐系统
- 最基本的就是，通过训练集训练模型，通过测试集测试模型，如果模型在测试集上的表现达到我们的预期，则该模型可以上线部署。
一般采用平均绝对离差来验证模型预测值的好坏
n:测试集中推荐值的总数量
r(up):真实的用户 u 对物品 p 的推荐值
r*(up):预测的用户 u 对物品 p 的推荐值
- 在线的 A/B 测试
项目实战
数据集格式如下：
1 1119 9.000000 1 167 8.000000 1 6265 8.000000 1 1440 9.000000 1 1427 9.000000 1 5404 8.000000 1 259 7.000000 1 4156 8.000000 2 419 9.000000 2 415 10.000000 2 2834 9.000000 2 228 10.000000 2 107 10.000000 2 440 9.000000 2 44 10.000000 2 455 10.000000
第一列为用户 ID，第二列为物品 ID，第三列为对应的打分（1-10）
总体代码基于 surprise 库，可以先安装
pip install scikit-surprise
下面导入相关库和数据集
import numpy as np import surprise from surprise import BaselineOnly from surprise import Dataset from surprise import Reader from surprise import accuracy from surprise.model_selection import cross_validate from surprise.model_selection import train_test_split reader = Reader(line_format='user item rating', sep='\t', rating_scale=(1, 10)) data = Dataset.load_from_file('book_ratings.dat.txt', reader=reader) # 将数据随机分为训练和测试数据集 trainset, testset = train_test_split(data, test_size=.25)
根据公式，定义算法函数
class MatrixFactorization(surprise.AlgoBase): def __init__(self, lr, n_epochs, n_factors, lmd): self.lr = lr # 梯度下降法的学习速率 self.n_epochs = n_epochs # 梯度下降法的迭代次数 self.n_factors = n_factors # 分解的矩阵的秩，即影响用户打分的隐藏因子 self.lmd = lmd # 正则化参数 def fit(self, trainset): print("Fitting data...") # 随机初始化 u 和 p 矩阵 u = np.random.normal(0, .1, (trainset.n_users, self.n_factors)) # 均值为0，方差为0.1，（行数，列数） p = np.random.normal(0, .1, (trainset.n_items, self.n_factors)) # 梯度下降法 for _ in range(self.n_epochs): print("Round:", _) for i, j, r_ij in trainset.all_ratings(): # 这里就是套用上面得到的公式 # u_old[i] = u[i] err = r_ij - np.dot(u[i], p[j]) u[i] -= -self.lr * err * p[j] + self.lr * self.lmd * u[i] p[j] -= -self.lr * err * u[i] + self.lr * self.lmd * p[j] self.u, self.p = u, p self.trainset = trainset print("End fitting!") def estimate(self, i, j): if self.trainset.knows_user(i) and self.trainset.knows_item(j): return np.dot(self.u[i], self.p[j]) else: return self.trainset.global_mean # 返回平均值
最后再训练、预测，评估
algo = MatrixFactorization(0.005, 60, 3, 0.2) algo.fit(trainset) predictions = algo.test(testset) accuracy.mae(predictions)
可以调整学习速率，迭代次数，隐藏因子个数和正则化参数等来训练不同的模型，并评估结果，获取满意的模型。
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