在我们的编程之旅中，C语言为我们打下了坚实的基础。然而，如今我们踏入了新的领域——数据结构与算法
**那么现在就以算法的时间复杂度和空间复杂度开始，逐步探索这个数据结构的精彩之处 **
一.算法效率
1.1 如何衡量一个算法的好坏
通常我们都会认为越简短算法越好 ,但是我们在用递归实现求斐波那契数列的时候，代码确实简短，但是效率却不高
int fib(int n) { if (n <= 2) { return 1; } else { return fib(n - 1) + fib(n - 2); } }
让求个第50个耗费的时间就已经不短了，所以我们需要一个统一的标准来衡量代码的好坏——算法的复杂度
1.2 算法的复杂度
算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般
是从时间和空间两个维度来衡量的，即我们所说的时间复杂度和空间复杂度
- 时间复杂度：时间复杂度描述了算法解决问题所需的时间量级。它表示随着输入规模的增加，算法执行所需时间的增长趋势，时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢
- 空间复杂度：空间复杂度衡量了算法在执行过程中所需的额外内存空间。表示随着输入规模增加，算法所需内存的增长趋势。空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间
而如今计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度，更加着重于时间复杂度
二.时间复杂度
2.1基本概念
算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。显然这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。
一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度
确定一个算法中某个基本操作与问题规模 N 之间的关系式，即可确定该算法的时间复杂度
eg:计算一下test1中++count语句总共执行了多少次？
#include<stdio.h> int test1(int N) { int count = 0; for (int i = 0; i < N; ++i) { for (int j = 0; j < N-1; ++j) { ++count; } } for (int k = 0; k < N; ++k) { ++count; } int M = 20; while (M--) { ++count; } } int main() { test1(); return 0; }
可以知道执行的次数F（N）只与N有关：
F(N)=N∗(N−1)+N+20
- N = 10 F(N) = 120
- N = 100 F(N) = 10020
实际中计算时间复杂度时，其实并不一定要计算很精确的执行次数，只需要知道大概执行次数，即使用大O的渐进表示法
2.2 大O的渐进表示法
大 O 渐进表示法（Big O notation）: 是一种用于描述算法复杂度的数学表示方法。它用于衡量算法在最坏情况下执行时间的上限，即算法的增长率
规则：
- 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
- 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
- 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶
上面的
F(N)=N∗(N−1)+N+20
用大O表示法为：
O(N2)
通过上面这个例子会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁的表示出了执行次数
有些算法的时间复杂度也分最好，平均，最坏的情况：
- 最坏情况：任意输入规模的最大运行次数
- 平均情况：任意输入规模的期望运行次数
- 最好情况：任意输入规模的最小运行次数
eg：在一个长度为n的整形数组arr里找a这个值
最好情况第一次就找到了 平均情况n/2次找到 最坏情况n次找的
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)
2.3常见时间复杂度计算
void test2(int N,int M) { int count = 0; for (int k = 0; k < M; ++k) { count++; } for (int k = 0; k < N; ++k) { count++; } }
基本操作执行了M+N次,时间复杂度为O(N)
void test3() { int count = 0; for (int k = 0; k < 100; ++k) { ++count; } }
基本操作执行了100次（常数）,时间复杂度为O(1)
void BubbleSort(int* a, int n) { assert(a); for (size_t end = n; end > 0; --end) { int exchange = 0; for (size_t i = 1; i < end; ++i) { if (a[i - 1] > a[i]) { Swap(&a[i - 1], &a[i]); exchange = 1; } } if (exchange == 0) break; } }
基本操作执行最好N次，最坏执行了(N*(N+1)/2次，通过推导大O阶方法+时间复杂度看最
坏，时间复杂度为
O(N2)
int BinarySearch(int* a, int n, int x) { assert(a); int begin = 0; int end = n - 1; while (begin <= end) { int mid = begin + ((end - begin) >> 1);//相当于begin+（n/2） if (a[mid] < x) begin = mid + 1; else if (a[mid] > x) end = mid - 1; else return mid;//找到了返回下标 } return -1;//没找到返回-1 }
基本操作执行最好1次，最坏O(log2N）次，时间复杂度为 O(log 2 N）(一般情况下写成lgN）
三.空间复杂度
3.1基本概念
空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间,算的是变量的个数。
空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法
3.2常见时间复杂度计算
void BubbleSort(int* a, int n) { assert(a); for (size_t end = n; end > 0; --end) { int exchange = 0; for (size_t i = 1; i < end; ++i) { if (a[i - 1] > a[i]) { Swap(&a[i - 1], &a[i]); exchange = 1; } } if (exchange == 0) break; } }
使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)
long long Fac(size_t N) { if(N == 0) return 1; return Fac(N-1)*N; }
空间复杂度是 O(N)，其中 N 是输入的参数。这是因为每次递归调用都会在内存中创建一个新的函数调用帧
好啦，今天的内容梳理就先到这里了，下一次应该会是顺序表了。感谢大家支持！！！😊
