一、树形结构
1.1 概念
树是一种 非线性 的数据结构，它是由 n (n>=0) 个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 把它叫做树是因为它看 起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的 。它具有以下的特点：
有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
树是递归定义的。
注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
1.2 关于树的一些概念术语
结点的度 ：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图： A 的度为 6
树的度 ：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为 6
叶子结点或终端结点 ：度为 0 的结点称为叶结点； 如上图： B 、 C 、 H 、 I... 等节点为叶结点
双亲结点或父结点 ：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图： A 是 B 的父结点
孩子结点或子结点 ：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图： B 是 A 的孩子结点
根结点 ：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图： A
结点的层次 ：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子结点为第 2 层，以此类推
树的高度或深度 ：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为 4
树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：
非终端结点或分支结点 ：度不为 0 的结点； 如上图： D 、 E 、 F 、 G... 等节点为分支结点
兄弟结点 ：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图： B 、 C 是兄弟结点
堂兄弟结点 ：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图： H 、 I 互为兄弟结点
结点的祖先 ：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图： A 是所有结点的祖先
子孙 ：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是 A 的子孙
森林 ：由 m （ m>=0 ）棵互不相交的树组成的集合称为森林
1.3 树的表示形式
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如： 双亲表示法、 孩子表示法 、 孩子双亲表示法 、 孩子兄弟表示法 等等。我们这里就简单的了解其中最常用的 孩子兄弟表示法 。
class Node { int value; // 树中存储的数据 Node firstChild; // 第一个孩子引用 Node nextBrother; // 下一个兄弟引用 }
1.4 树的应用
文件系统管理（目录和文件）
了解了上面的基础知识，那我们就来看一下二叉树到底是什么！
二、二叉树
2.1 概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
1. 或者为空
2. 或者是由 一个根节 点加上两棵别称为 左子树 和 右子树 的二叉树组成
从上图可以看出：
二叉树不存在度大于2的结点
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
2.2 两种特殊的二叉树
满二叉树 : 一棵二叉树，如果 每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树 。也就是说， 如果一棵 二叉树的层数为 K ，且结点总数是2^k -1 ，则它就是满二叉树 。
完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一 一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
2.3 二叉树的重要性质
1. 若规定 根结点的层数为 1 ，则一棵 非空二叉树的第 i 层上最多有 (i>0)个结点
2. 若规定只有 根结点的二叉树的深度为 1 ，则 深度为 K的二叉树的最大结点数是-1(k>=0)
3. 对任何一棵二叉树 , 如果其 叶结点个数为 n0, 度为 2 的非叶结点个数为 n2, 则有 n0 ＝ n2 ＋1
4. 具有 n 个结点的完全二叉树的深度 k为向上取整
5.对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子
2.4 二叉树的存储
二叉树的存储结构 分为： 顺序存储 和 类似于链表的链式存储。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式 ，具体如下：
// 孩子表示法 class Node { int val; // 数据域 Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树 Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树 } // 孩子双亲表示法 class Node { int val; // 数据域 Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树 Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树 Node parent; // 当前节点的根节点 }
2.5 二叉树的基本操作
2.5.1 二叉树的类定义
public class BinaryTree { static public class TreeNode{ public char val; public TreeNode left; public TreeNode right; public TreeNode(char val){ this.val=val; } } }
2.5.2 二叉树的创建
二叉树是递归定义的，因此可以通过递归来创建一颗二叉树，也可以通过穷举法来创建。我们先通过穷举法来创建，后续我会给大家分享递归创建二叉树。
public TreeNode CreatBinaryTree(){ TreeNode A=new TreeNode('A'); TreeNode B=new TreeNode('B'); TreeNode C=new TreeNode('C'); TreeNode D=new TreeNode('D'); TreeNode E=new TreeNode('E'); TreeNode F=new TreeNode('F'); TreeNode G=new TreeNode('G'); TreeNode H=new TreeNode('H'); A.left=B; A.right=C; B.left=D; B.right=E; C.left=F; C.right=G; D.left=H; return A; }
通过上面的穷举法，我们就创建了下面这样一棵二叉树:
2.5.3 二叉树的前序遍历
递归遍历：
public void preOrder(TreeNode root){ if(root==null){ return; } System.out.print(root.val+" "); preOrder(root.left); preOrder(root.right); }
非递归遍历：
public void preOrderNor(TreeNode root){ Stack<TreeNode> stack=new Stack<>(); TreeNode cur=root; while(cur!=null || !stack.empty()){ while(cur!=null){ System.out.print(cur.val+" "); stack.push(cur); cur=cur.left; } TreeNode top = stack.pop(); cur=top.right; } }
2.5.4 二叉树的中序遍历
递归遍历：
public void inOrder(TreeNode root){ if(root==null){ return; } inOrder(root.left); System.out.print(root.val+" "); inOrder(root.right); }
非递归遍历：
public void inOrderNor(TreeNode root){ Stack<TreeNode> stack=new Stack<>(); TreeNode cur=root; while(cur!=null || !stack.empty()){ while(cur!=null){ stack.push(cur); cur=cur.left; } TreeNode top=stack.pop(); System.out.print(top.val+" "); cur=top.right; } }
2.5.5 二叉树的后序遍历
递归遍历：
public void postOrder(TreeNode root){ if(root==null){ return; } postOrder(root.left); postOrder(root.right); System.out.print(root.val+" "); }
非递归遍历：
public void postOrderNor(TreeNode root){ Stack<TreeNode> stack=new Stack<>(); TreeNode cur=root; TreeNode prev=null; while(cur!=null || !stack.empty()){ while(cur!=null){ stack.push(cur); cur=cur.left; } TreeNode top=stack.peek(); if(top.right==null || top.right==prev){ System.out.print(top.val+" "); stack.pop(); prev=top;//记录最新被打印的节点 }else{ cur=top.right; } } }
2.5.6 获取树中节点个数
public int size(TreeNode root){ if(root==null){ return 0; } return size(root.left)+size(root.right)+1; }
2.5.7 获取叶子节点个数
public int getLeafNodeCount(TreeNode root){ if(root==null){ return 0; } if(root.left==null && root.right==null){ return 1; } return getLeafNodeCount(root.left)+getLeafNodeCount(root.right); }
2.5.8 获取第K层节点个数
public int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k){ if(root==null){ return 0; } if(k==1){ return 1; } return getKLevelNodeCount(root.left,k-1)+getKLevelNodeCount(root.right,k-1); }
2.5.9 获取二叉树的高度
public int getHeight(TreeNode root){ if(root==null){ return 0; } /* if(root.left==null && root.right==null){ return 1; }*/ int leftHeight=getHeight(root.left); int rightHeight=getHeight(root.right); return leftHeight > rightHeight ? leftHeight+1:rightHeight+1; }
2.5.10 查找二叉树中是否存在值为val的节点
TreeNode find(TreeNode root, char val){ if(root==null){ return null; } if(root.val==val){ return root; } TreeNode ret1=find(root.left,val); if(ret1!=null){ return ret1; } TreeNode ret2=find(root.right,val); if(ret2!=null){ return ret2; } return null; }
