1. 介绍
1.1 背景
一道面试题：
给40亿个不重复的无符号整数，没排过序。给一个无符号整数，如何快速判断一个数是否在这40亿个数中？
到目前为止，我们能想到的最快的办法有两种：
- 排序+二分查找；
- 用搜索树如红黑树、哈希表等查找效率非常高的数据结构查找。
虽然从时间复杂度上看，它们的效率还可以，一个是O ( N ∗ l o g 2 N ) O(N*log_2N)O(N∗log2N)，一个是O ( N ) O(N)O(N)，但是这个问题从一开始就和一般的查找问题不同：
“40亿个不重复的无符号整数”，在计算机眼中，一个unsigned整数是4个字节（32位机器），如果这40亿个整数排序后是从0连续递增的（unsigned能表示整数的范围能到42亿9千万，40亿是为了好看），那么40亿个就是40亿*4字节，大约是15GB。这么大的数据量，使用哈希表和搜索树都不大可能有效，因为它们作为一种数据结构本身就占有一定的内存空间，例如结点类的大小。每个结点除了数据本身还有其他结构附带的内存空间占用，哈希表能达到45GB左右，搜索树更是达到了接近60GB。而一般的机器内存并没有这么大，排除第二种方案。
排序+二分查找也不行，还是因为数据量太大，只能作为磁盘文件处理，但是二分查找和外排序都很慢，造成它们速度慢的主要原因是磁盘查找扇区的速度很慢。
即使是强如SSD这样的能够高速读写的固态硬盘，它的读写速度和内存依然相形见绌，所以它的“高速”是相对于传统机械硬盘而言的。
位图就是解决诸如“大海捞针”这样的海量数据问题的。
1.2 概念
位图（bitmap），将每一个bit位的0和1作为集合中某个元素的状态：
- 0：不存在
- 1：存在
常用于解决海量数据处理和数据查重这类问题，是一种较高空间利用率的数据结构。
1.3 应用
- 快速查找某个数据是否在一个集合中；
- 排序；
- 求两个集合的交集、并集等；
- 操作系统中磁盘块标记；
- 内核中信号标志位（信号屏蔽字和未决信号集）。
上图中的比特位序号从右到左递增，说明机器是小端机，大多数机器都是小端机。
友情链接：大小端模式
在32位机器中，每个unsigned整数都是4个字节，那么对于上面这个例子，40亿个unsigned整数对应40亿个比特位，一个整数有32个比特位，那么40亿个数也就占512MB。内存消耗极大减少。
2. 位图的使用
STL标准库内置了位图，它叫做bitset。
2.1 原型
template <size_t N> class bitset;
- N：bitset 的大小，以位数表示。
它被包含在头文件<bitset>中。
2.2 构造位图
主要有三种构造位图的方法：
- 构造一个16位的位图，默认每位都是0：
bitset<16> bs1; // 0000000000000000
- 用一个具体的数值的二进制序列构造位图：
bitset<16> bs2(0xffffffff); // 1111111111111111
- （必须）用一个由0和1组成的字符串构造位图：
bitset<16> bs3(string("1010101001")); // 0000001010101001
2.3 常用接口
| 成员函数 | 功能 |
| set | 设置指定位或所有位 |
| reset | 清空指定位或所有位 |
| flip | 反转指定位或所有位 |
| test | 获取指定位的状态 |
| count | 获取被设置位的个数 |
| size | 获取可以容纳的位的个数 |
| any | 如果有任何一个位被设置则返回true |
| none | 如果没有位被设置则返回true |
| all | 如果所有位都被设置则返回true |
2.4 示例
void test1() { bitset<8> bs; cout << "bitset<8> bs:" << bs << endl; bs.set(); // 设置所有位 cout << "bs.set(): " << bs << endl; bs.flip(); // 反转所有位 cout << "bs.flip(): " << bs << endl; bs.set(1); // 设置第1位 cout << "bs.set(1): " << bs << endl; bs.reset(1); // 清空第1位 cout << "bs.reset(1): " << bs << endl; bs.flip(1); // 反转第1位 cout << "bs.flip(1): " << bs << endl; int size = bs.size();// 可表示位的个数 cout << "bs.size(): " << size << endl; bool any = bs.any(); // 任何一个位被设置返回true cout << "any be setted:" << any << endl; bs.reset(); // 清空所有位 bool none = bs.none();// 没有位被设置返回true cout << "none be setted:" << none << endl; }
输出
bitset<8> bs:00000000 bs.set(): 11111111 bs.flip(): 00000000 bs.set(1): 00000010 bs.reset(1): 00000000 bs.flip(1): 00000010 bs.size(): 8 any be setted:1 none be setted:1
2.4 常用运算符
2.4.1 >>和<<
bitset容器重载了>>和<<运算符（流插入和流输出），所以可以直接对容器实例化出的对象进行输入输出操作：
void test2() { bitset<8> bs; cin >> bs; cout << bs << endl; }
输入：
1010
输出：
00001010
2.4.2 赋值运算符、关系运算符、复合赋值运算符、单目运算符
- 赋值运算符：=；
- 关系运算符：==、!=；
- 复合赋值运算符：&=、|=、^=、<<=、>>=；
- 单目运算符：~。
void test3() { bitset<8> bs1(string("11100000")); bitset<8> bs2(string("00000111")); bool eql = bs1 != bs2; cout << "bs1!=bs2: " << eql << endl; bs1 >>= 3; cout << "bs1>>3: " << bs1 << endl; bs2 ^= bs1; cout << "bs2 ^= bs1:" << bs2 << endl; }
输出：
bs1!=bs2: 1 bs1>>3: 00011100 bs2 ^= bs1:00011011
2.4.3 位运算符
位图也可以直接用三个位运算符对位操作：
void test4() { bitset<8> bs1(string("10101010")); bitset<8> bs2(string("01010101")); cout << (bs1 & bs2) << endl; cout << (bs1 | bs2) << endl; cout << (bs1 ^ bs2) << endl; }
输出：
00000000 11111111 11111111
2.4.4 [ ]运算符
位操作作为计算机中最精细的操作，速度理应是非常快的，所以可以认为是像数组一样随机访问不同序号的比特位：
void test5() { bitset<8> bs(string("10101010")); cout << bs[1] << endl; bs[7] = 0; cout << bs << endl; }
输出：
1 00101010
