动态规划（回文串问题）
1. 回文子串
- 状态表示
f[i][j]表示 i 到 j 的子串当中是否是回文 - 状态转移方程
- 初始化
最初所有的内容都是0即可 - 填表
因为 i j 需要用 i + 1 来初始化，所以这个时候需要从下往上填表 - 返回值
返回整个dp 表里true 的数目就可以
AC代码:
class Solution { public: int countSubstrings(string s) { int n = s.size(); vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(n)); int ret = 0; for (int i = n - 1; i >= 0; i--) { for (int j = i; j < n; j++) { if (s[i] == s[j]) { dp[i][j] = i + 1 < j ? dp[i + 1][j - 1] : true; } if (dp[i][j]) ret++; } } return ret; } };
2. 最长回文子串
如果需要求一个字符串当中的最长的回文子串，需要将所有的回文子串找到，然后再所有的回文子串里面找打一个最长的就可以了
可以参考上一个题目回文子串
AC代码：
class Solution { public: string longestPalindrome(string s) { // 找到所有的回文子串 int n = s.size(); vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(n)); int begin = 0, len = 1; for (int i = n - 1; i >= 0; i--) { for (int j = i; j < n; j++) { if (s[i] == s[j]) { dp[i][j] = i + 1 < j ? dp[i + 1][j - 1] : true; } if (dp[i][j] && j - i + 1 > len) { begin = i; len = j - i + 1; } } } return s.substr(begin, len); } };
3. 回文串分割 IV
分析：如果暴力解题的话，i 和 j 可以把整个字符串分为3份，只需要遍历所有可能分为3份的情况直接判断是否都是回文串不就可以了。但是判断回文串需要花费时间，可以使用上面两道题的方法来判断是不是回文串
AC代码：
class Solution { public: bool checkPartitioning(string s) { int n = s.size(); vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(n)); for (int i = n - 1; i >= 0; i--) { for (int j = i; j < n; j++) { if (s[i] == s[j]) dp[i][j] = i + 1 < j ? dp[i + 1][j - 1] : true; } } for (int i = 1; i < n - 1; i++) { for (int j = i; j < n - 1; j++) { if (dp[0][i - 1] && dp[i][j] && dp[j + 1][n - 1]) return true; } } return false; } };
4. 分割回文串 ||
- 状态表示
dp[i]表示0 到 i 之间，可以把所有子串都分割为回文串的最小次数 - 状态转移方程
- 初始化
所需初始位最大即可
- 填表
从左到右 - 返回值
AC代码：
class Solution { public: int minCut(string s) { int n = s.size(); vector<vector<bool>> isPal(n, vector<bool>(n)); for (int i = n - 1; i >= 0; i--) { for (int j = i; j < n; j++) { if (s[i] == s[j]) isPal[i][j] = i + 1 < j ? isPal[i + 1][j - 1] : true; } } vector<int> dp(n, INT_MAX); for (int i = 0; i < n; i++) { if (isPal[0][i]) dp[i] = 0; else { for (int j = 1; j <= i; j++) { if (isPal[j][i]) dp[i] = min(dp[i], dp[j - 1] + 1); } } } return dp[n - 1]; } };
5. 最长回文子序列
- 状态表示
之前以某个位置为结尾来分析状态表示，如果dp[i]表示到i位置的最长回文子序列的长度来推导状态转移方程，只有长度是分析不出来状态转移方程。
dp[i][j]表示i j 这个区间内，最长的回文子序列的长度
- 状态转移方程
- 初始化
无需初始化 - 填表
因为需要用到 后面的值，所以填表需要从下到上，从左到右
- 返回值
AC代码：
class Solution { public: int longestPalindromeSubseq(string s) { int n = s.size(); vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n)); for (int i = n - 1; i >= 0; i--) { for (int j = i; j < n; j++) { if (s[i] == s[j]) { dp[i][j] = i ==j ? 1 : dp[i + 1][j - 1] + 2; } else dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); } } return dp[0][n - 1]; } };
6. 让字符串成为回文串的最小插入次数
- 状态表示
dp[i][j]表示：i 到 j 这个区间内，成为回文串的最小插入次数 - 状态转移方程
- 初始化
- 填表
从下往上，从左到右 - 返回值
AC代码：
class Solution { public: int minInsertions(string s) { int n = s.size(); vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n)); for (int i = n - 1; i >= 0; i--) { for (int j = i; j < n; j++) { if (s[i] == s[j]) dp[i][j] = i + 1 < j ? dp[i + 1][j - 1] : 0; else dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) + 1; } } return dp[0][n - 1]; } };
