动态规划（简单多状态）
1. 按摩师
- 状态表示
dp[i]表示到i位置的时候预约的最大时长。但是这个题目我们可以选择接或不接。因此可以继续划分为两个子状态：
f[i]表示：到i位置时接受的最大时长
g[i]表示：到i位置时不接受的最大时长
- 填表
从左到右 - 返回值
接受最后一个或者不接受的最大值
AC代码：
class Solution { public: int massage(vector<int>& nums) { int n = nums.size(); if (n == 0) return 0; vector<int> f(n); auto g = f; f[0] = nums[0], g[0] = 0; for (int i = 1; i < n; i++) { f[i] = g[i - 1] + nums[i]; g[i] = max(f[i - 1], g[i - 1]); } return max(f[n - 1], g[n - 1]); } };
2. 打家劫舍 ||
分析：
由于房间是连续的，也就是一个环，因此可以分类讨论：
- 偷第一个时，第二个和最后一个不能偷
- 不偷第一个，可以偷第二个和最后一个
因此只需要两种情况的最大值就可以
- 状态表示
dp[i]表示偷到i时的最大金额，但是依然可以划分为两种情况偷或不偷f[i]表示偷i时的最大金额g[i]表示不偷i时的最大金额 - 状态转移方程
- 初始化
保证后续的填表不越界 - 填表
从左到右，两个一起填 - 返回值
最大值
AC代码：
class Solution { public: int rob(vector<int>& nums) { int x = 0, y = 0; int n = nums.size(); x += nums[0]; x += recursion(2, n - 2, nums); y += recursion(1, n - 1, nums); return max(x, y); } int recursion(int left, int right, vector<int> &v) { if (left > right) return 0; int n = v.size(); vector<int> f(n); auto g = f; f[left] = v[left]; // 初始化 for (int i = left + 1; i <= right; i++) { f[i] = g[i - 1] + v[i]; g[i] = max(g[i - 1], f[i - 1]); } return max(f[right], g[right]); } };
3. 删除并获得点数
分析：我们把所有数字的点数之和，放到一个数组当中，在进行一次打家劫舍就可以了
把原数组转换成一个新数组，新数组的下标i所对应的值为原数组的元素i在原数组中数字的总和，比如原数组[2, 2, 3, 3, 3, 4],转换为新数组就是[0, 0, 4, 9, 4]。在新数组中，下标0和1表示在原数组中没有0和1这两个数，新数组下标2的值是4，表示在原数组中，所有2的总和是4。转换的目的就是可以从新数组中得到删除nums[i]而得到的点数，也就是可以打劫的金额。因为删除nums[i]后，还要删除nums[i] + 1和nums[i] - 1，在新数组中就意味着不能取相邻的元素，不能取相邻的元素和打家劫舍也是一样的。接下来就可以使用打家劫舍的方式解答了
AC代码：
class Solution { public: const int N = 10001; int deleteAndEarn(vector<int>& nums) { vector<int> arr(N); for (auto e : nums) arr[e] += e; vector<int> g(N); auto f = g; for (int i = 1; i < N; i++) { f[i] = g[i - 1] + arr[i]; g[i] = max(g[i - 1], f[i - 1]); } return max(g[N - 1], f[N - 1]); } };
4. 粉刷房子
- 状态表示
dp[i]表示到i时，所需的最少费用。但是到i的时候可以有三种情况我们需要分三个子状态dp[i][0], dp[i][1], dp[i][2] - 状态转移方程
- 初始化
采用虚拟节点的方式 - 填表
- 返回值
返回三个表中的最小值
AC代码：
class Solution { public: int minCost(vector<vector<int>>& costs) { // 0: 红色 1：蓝色 2：绿色 int n = costs.size(); vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(3)); for (int i = 1; i <= n; i++) { dp[i][0] = min(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]) + costs[i - 1][0]; dp[i][1] = min(dp[i - 1][0], dp[i - 1][2]) + costs[i - 1][1]; dp[i][2] = min(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1]) + costs[i - 1][2]; } int ret = INT_MAX; for (int i = 0; i < 3; i++) { ret = min(ret, dp[n][i]); } return ret; } };
5. 最佳买卖股票时机含冷冻期
- 状态表示
dp[i]表示到i位置时的最大利润，但是到达i位置的时候仍然有3种子状态
dp[i][0]，表示i过后处于买入状态dp[i][1]， 表示i过后处于可交易状态
dp[i][2]，表示i过后处于冷冻期状态
- 状态转移方程
像这种状态之间可以相互转换的，我们可以采用如下方法分析：
- 初始化
dp[0][0] = -prices[0], dp[0][1] = 0, dp[0][2] = 0 - 填表
三张表同时填
- 返回值
返回三中状态最后的最大值
AC代码：
class Solution { public: int maxProfit(vector<int>& prices) { int n = prices.size(); vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(3)); dp[0][0] = -prices[0]; for (int i = 1; i < n; i++) { dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]); dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]); dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i]; } return max(max(dp[n - 1][0], dp[n - 1][1]), dp[n - 1][2]); } };
6. 买卖股票的最佳时机含手续费
- 状态表示
dp[i]表示到i位置的时候，最大的利润但是到i位置的时候是有两种状态的dp[i][0]：表示是买入状态dp[i][1]表示卖出状态
- 状态转移方程
- 初始化
刚开始如果是买入状态dp[0][0] = -prices[0] - 填表
- 返回值
AC代码：
class Solution { public: int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) { int n = prices.size(); vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(2)); dp[0][0] = -prices[0]; for (int i = 1; i < n; i++) { dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]); dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i] - fee); } return max(dp[n - 1][0], dp[n - 1][1]); } };
7. 买卖股票的最佳时机 |||
- 状态表示
dp[i]表示到i位置的最大利润，但是还分为几个状态f[i][j]表示到i是第j次买入的最大利润g[i][j]表示到i是第j次买入的最大利润 - 状态转移方程
- 初始化
f[0][0] = -prices[0], g[0][0] = 0 - 填表
从上往下，每一行从左到右 - 返回值
卖出状态最后的几个中的最大值
AC代码：
class Solution { public: const int N = 0x3f3f3f3f; int maxProfit(vector<int>& prices) { int n = prices.size(); vector<vector<int>> f(n, vector<int>(3, -N)); auto g = f; f[0][0] = -prices[0], g[0][0] = 0; for (int i = 1; i < n; i++) { for (int j = 0; j < 3; j++) { f[i][j] = max(f[i - 1][j], g[i - 1][j] - prices[i]); g[i][j] = g[i - 1][j]; if (j - 1 >= 0) g[i][j] = max(g[i][j], f[i - 1][j - 1] + prices[i]); } } int ret = 0; for (int i = 0; i < 3; i++) { ret = max(ret, g[n - 1][i]); } return ret; } };
8. 买卖股票的最佳时机 IV
- 状态表示
还是分为两个子状态f[i][j]表示到i位置买入状态第j次买股票的最大利润g[i][j]表示到i位置卖出状态第j次买股票的最大利润 - 状态转移方程
- 初始化
f[0][0] = -prices[0], g[0][0] = 0 - 填表
从上到下，从左到右 - 返回值
返回所有行的最大值
AC代码：
class Solution { public: const int N = 0x3f3f3f3f; int maxProfit(int k, vector<int>& prices) { int n = prices.size(); vector<vector<int>> f(n, vector<int>(k + 1, -N)); auto g = f; f[0][0] = -prices[0], g[0][0] = 0; for (int i = 1; i < n; i++) { for (int j = 0; j <= k; j++) { f[i][j] = max(f[i - 1][j], g[i - 1][j] - prices[i]); g[i][j] = g[i - 1][j]; if (j - 1 >= 0) g[i][j] = max(g[i][j], f[i - 1][j - 1] + prices[i]); } } int ret = 0; for (int i = 0; i <= k; i++) { ret = max(ret, g[n - 1][i]); } return ret; } };
