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1.算法概述

数据结构是一种组织数据以便有效使用数据的系统方法。以下术语是数据结构的基础术语。

接口 - 每个数据结构都有一个接口。 Interface表示数据结构支持的操作集。接口仅提供支持的操作列表，它们可以接受的参数类型以及返回这些操作的类型。
实现 - 实现提供数据结构的内部表示。实现还提供了数据结构操作中使用的算法的定义。

数据结构的特征

正确性 - 数据结构实现应正确实现其接口。
时间复杂度 - 数据结构的运行时间或操作的执行时间必须尽可能小。
空间复杂性 - 数据结构操作的内存使用应尽可能少。

需要数据结构

随着应用程序越来越复杂且数据越来越丰富，应用程序现在面临三个常见问题。

数据搜索 - 考虑一个商店的100万(10 6)件商品的库存。如果应用程序要搜索项目，则每次减慢搜索速度时，它必须搜索100万(10 6)个项目中的项目。随着数据的增长，搜索速度会变慢。
处理器速度 - 处理器速度虽然非常高，但如果数据增长到数十亿条记录，则会受到限制。
多个请求 - 由于成千上万的用户可以在Web服务器上同时搜索数据，因此即使快速服务器在搜索数据时也会失败。

为了解决上述问题，数据结构得以解决。可以在数据结构中组织数据，使得可以不需要搜索所有项目，并且几乎可以立即搜索所需数据。

执行时间案例

有三种情况通常用于以相对方式比较各种数据结构的执行时间。

最坏情况 - 这是特定数据结构操作占用最多时间的情况。如果操作的最坏情况时间是ƒ(n)，那么此操作将不会超过ƒ(n)时间，其中ƒ(n)表示n的函数。
平均情况 - 这是描述数据结构操作的平均执行时间的方案。如果操作在执行中花费ƒ(n)时间，那么m次操作将花费mƒ(n)时间。
最佳案例 - 这是描述数据结构操作的最少可能执行时间的场景。如果操作在执行中花费ƒ(n)时间，则实际操作可能花费时间作为最大的随机数作为f(n)。

基本术语

数据 - 数据是值或值集。
数据项 - 数据项是指单个值单位。
组项目 - 分为子项目的数据项称为组项目。
基本项目 - 不能分割的数据项称为基本项目。
属性和实体 - 实体是包含某些属性或属性的实体，可以为其指定值。
实体集 - 类似属性的实体形成实体集。
Field - Field是表示实体属性的单个基本信息单元。
记录 - 记录是给定实体的字段值的集合。
文件 - 文件是给定实体集中实体的记录的集合。

2.算法基础

算法是一个逐步的过程，它定义了一组指令，这些指令按特定顺序执行以获得所需的输出。算法通常独立于底层语言创建，即算法可以用一种以上的编程语言实现。

从数据结构的角度来看，以下是一些重要的算法类别 -

搜索 - 搜索数据结构中的项目的算法。
排序 - 按特定顺序对项目进行 排序的 算法。
插入 - 在数据结构中插入项的算法。
更新 - 更新数据结构中现有项目的算法。
删除 - 从数据结构中删除现有项目的算法。

3.算法的特征

并非所有过程都可以称为算法。算法应具有以下特征 -

明确 - 算法应清晰明确。它的每个步骤(或阶段)及其输入/输出应该是清楚的，并且必须只有一个含义。
输入 - 算法应具有0个或更多明确定义的输入。
输出 - 算法应具有1个或多个明确定义的输出，并且应与所需的输出匹配。
有限性 - 算法必须在有限数量的步骤之后终止。
可行性 - 利用现有资源应该可行。
独立 - 算法应具有逐步指导，这应该独立于任何编程代码。

4.如何编写算法？

编写算法没有明确定义的标准。相反，它是问题和资源依赖的。永远不会编写算法来支持特定的编程代码。

我们知道所有编程语言都共享基本代码结构，如循环(do，for，while)，流控制(if-else)等。这些常用结构可用于编写算法。

我们一步一步地编写算法，但情况并非总是如此。算法编写是一个过程，在问题域定义明确后执行。也就是说，我们应该知道我们正在设计解决方案的问题域。

实例

让我们尝试通过一个例子学习算法编写。

问题 - 设计一个算法来添加两个数字并显示结果。

**Step 1** − START
**Step 2** − declare three integers **a** , **b**  & **c**
**Step 3** − define values of **a**  & **b**
**Step 4** − add values of **a**  & **b**
**Step 5** − store output of _step 4_ to **c**
**Step 6** − print **c**
**Step 7** − STOP

算法告诉程序员如何编写程序代码。或者，算法可以写成 -

**Step 1** − START ADD
**Step 2** − get values of **a**  & **b**
**Step 3** − c ← a + b
**Step 4** − display c
**Step 5** − STOP

在算法的设计和分析中，通常使用第二种方法来描述算法。它使分析人员可以轻松分析算法，忽略所有不需要的定义。他可以观察正在使用的操作以及流程如何流动。

编写 步骤编号 是可选的。

我们设计了一种算法来获得给定问题的解决方案。问题可以通过多种方式解决。

因此，可以针对给定问题导出许多解算法。下一步是分析那些提出的解决方案算法并实施最合适的解决方案。

5.算法分析

算法的渐近分析是指定义其运行时性能的数学边界/框架。使用渐近分析，我们可以很好地得出算法的最佳情况，平均情况和最坏情况。

渐近分析是输入界限，即，如果算法没有输入，则结论是在恒定时间内工作。除了“输入”之外，所有其他因素都被认为是不变的。

渐近分析是指以数学计算单位计算任何操作的运行时间。例如，一个操作的运行时间计算为 f (n)，并且可以用于另一个操作，其计算为 g (n 2)。这意味着第一操作运行时间将随着 n 的增加而线性增加，并且当 n 增加时第二操作的运行时间将指数地增加。类似地，如果 n 非常小，则两个操作的运行时间几乎相同。

通常，算法所需的时间分为三种类型 -

最佳案例 - 程序执行所需的最短时间。
平均情况 - 程序执行所需的平均时间。
最坏情况 - 程序执行所需的最长时间。

渐近符号

以下是计算算法运行时间复杂度的常用渐近符号。

Ο符号
Ω表示法
θ表示法

大哦符号，Ο

符号Ο(n)是表示算法运行时间上限的正式方式。它测量最坏情况下的时间复杂度或算法可能需要完成的最长时间。

例如，对于函数 *f* (n)

Ο( _f_ (n)) = { _g_ (n) : there exists c > 0 and n0 such that _f_ (n) ≤ c. _g_ (n) for all n > n0. }

Omega表示法，Ω

符号Ω(n)是表示算法运行时间下限的正式方式。它测量最佳案例时间复杂度或算法可能需要完成的最佳时间量。

例如，对于函数 *f* (n)

Ω( _f_ (n)) ≥ { _g_ (n) : there exists c > 0 and n0 such that _g_ (n) ≤ c. _f_ (n) for all n > n0. }

Theta Notation，θ

符号θ(n)是表示算法运行时间的下限和上限的形式方式。它表示如下 -

θ( _f_ (n)) = { _g_ (n) if and only if _g_ (n) =  Ο( _f_ (n)) and _g_ (n) = Ω( _f_ (n)) for all n > n0. }

常见的渐近符号

以下列出了一些常见的渐近符号

不变	-	Ο(1)
对数的	-	Ο(log n)
线性	-	Ο(n)的
n log n	-	Ο(n log n)
二次	-	Ο(n 2)
立方体	-	Ο(n 3)
多项式	-	n (1)
指数	-	2 Ο(n)的

算法分析

算法的效率可以在实现之前和实现之后的两个不同阶段进行分析。他们是以下 -

*先验* 分析 - 这是对算法的理论分析。通过假设所有其他因素(例如，处理器速度)是恒定的并且对实现没有影响来测量算法的效率。
*后验* 分析 - 这是一种算法的实证分析。所选算法使用编程语言实现。然后在目标计算机上执行此操作。在此分析中，收集了所需的运行时间和空间等实际统计数据。

我们将学习先验算法分析。算法分析处理所涉及的各种操作的执行或运行时间。操作的运行时间可以定义为每个操作执行的计算机指令的数量。

算法复杂度

假设 X 是算法， n 是输入数据的大小，算法X使用的时间和空间是决定X效率的两个主要因素。

时间因素 - 时间是通过计算关键操作的数量来测量的，例如排序算法中的比较。
空间因子 - 通过计算算法所需的最大内存空间来测量空间。

算法 f(n) 的复杂性给出算法所需的运行时间和/或存储空间，以 n 为输入数据的大小。

空间复杂性

算法的空间复杂度表示算法在其生命周期中所需的存储空间量。算法所需的空间等于以下两个组件的总和 -

固定部分，是存储某些数据和变量所需的空间，与问题的大小无关。例如，使用的简单变量和常量，程序大小等。
变量部分是变量所需的空间，其大小取决于问题的大小。例如，动态内存分配，递归堆栈空间等。

任何算法P的空间复杂度S§是S§= C + SP(I)，其中C是固定部分，S(I)是算法的可变部分，它取决于实例特征I.是一个试图解释这个概念的简单例子 -

Algorithm: SUM(A, B)
Step 1 -  START
Step 2 -  C ← A + B + 10
Step 3 -  Stop

这里我们有三个变量A，B和C以及一个常数。因此，S§= 1 + 3.现在，空间取决于给定变量和常量类型的数据类型，并且它将相应地相乘。

时间复杂性

算法的时间复杂度表示算法运行完成所需的时间量。时间要求可以定义为数值函数T(n)，其中T(n)可以作为步数来测量，条件是每个步骤消耗恒定的时间。

例如，添加两个n位整数需要 n 步。因此，总计算时间是T(n)= c * n，其中c是添加两个比特所花费的时间。在这里，我们观察到T(n)随着输入大小的增加而线性增长。

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