一、冒泡排序
如需更详细步骤可见：冒泡排序
1、定义
冒泡排序(bubble sort)是最基础的排序算法，它是一种基础的交换排序。它的原理就像汽水一样，汽水中常常有许多小气泡飘到上面。而冒泡排序这种排序算法的每一个元素也可以像小气泡一样根据自身大小一点点地向着数组一端移动。
2、思想及图解
冒泡排序的思想：相邻元素两两比较，当一个元素大于右侧相邻元素时，交换他们的位置；当一个元素小于或等于右侧元素时，位置不变。
对于以下这个无序的数列，用冒泡排序的思想进行排序：
冒泡排序单次排序图解：
当通过一轮排序之后，元素9作为最大的元素，移动到了数列的最右端。9是目前有序数列的唯一元素。，然后继续对数列进行排序…
整体流程图解：
3、代码
//交换 void Swap(int* a, int* b) { int tmp = *a; *a = *b; *b = tmp; } //冒泡排序 void BubbleSort(int* a, int n) { for (int i = 0; i < n ; i++) { //记录交换次数 int e = 0; for (int j = 1; j < n-i; j++) { if (a[j] < a[j - 1]) { Swap(&a[j], &a[j - 1]); e++; } } //本次没有交换过，已经有序 if (e == 0) { break; } } }
时间复杂度：O(n2)
空间复杂度：O(1)
二、快速排序
如需更详细步骤可见：快速排序
1、hoare版本
快速排序是Hoare于1962年提出的一种二叉树结构的交换排序方法，其基本思想为：任取待排序元素序列中的某元素作为基准值，按照该排序码将待排序集合分割成两子序列，左子序列中所有元素均小于基准值，右子序列中所有元素均大于基准值，然后左右子序列重复该过程，直到所有元素都排列在相应位置上为止。
算法思想：
- 定义一个keyi存入随机一个数key的下标换到数组首元素，这里先直接默认key为数组首元素
- 定义一个left和一个right，分别存入数组首元素和尾元素的下标，用来移动交换
- 排升序我们让右边right先向左移动，找到比key的值小的元素则停下来换到left移动
- left向右移动，找到比key的值大的元素则停下
- 交换下标为left和right的元素
- 重复以上操作直到left与right相遇（相等）
- 交换key和下标为left的元素
- 此时key的左边都是比它小的数，右边都是比它大的数
- 再分别对左右序列进行以上的单趟排序，反复操作直到左右序列只有一个或者没有元素时停止操作，数列即可有序
hoare版本单趟排序图示：
hoare版本代码：
//交换 void Swap(int* a, int* b) { int tmp = *a; *a = *b; *b = tmp; } //hoare版本 void QuickSort1(int* a, int begin, int end) { //递归结束条件 if (begin >= end) { return; } int keyi = begin; int left = begin; int right = end; //每趟排序直到左右相遇 while (left < right) { //右边先走，找到比key值小的 while (left < right && a[right] >= a[keyi]) { right--; } //right找到比key值小的之后换到left走，找到比key值大的 while (left < right && a[left] <= a[keyi]) { left++; } //交换 Swap(&a[left], &a[right]); } //将key值换到中间 Swap(&a[keyi], &a[left]); //更新key keyi = left; //对左右序列继续排序 QuickSort1(a, begin, keyi - 1); QuickSort1(a, keyi + 1, end); }
整体流程图：
2、挖坑法
挖坑法思想：
- 先将第一个数据存在变量key中，将此处作为最开始的坑位，用下标hole记录
- 然后right开始向前走，找到比key值小的元素后停下，将此元素放进坑里（下标为hole处），然后此处变为坑，hole变为此时的right
- 然后left开始向后移动，找到比key值大的元素后停下，将此元素放进坑里（下标为hole处），然后此处变为坑，hole变为此时的left
- 然后又换回right移动，如此反复直到left与right相遇（left与right相遇的地方一定是坑）
- 然后将key放入left与right相遇的位置，也就是坑的位置，此时hole左边都是小于等于它的，右边都是大于等于它的
- 如此单趟排序便结束，然后继续对hole左右序列继续反复执行以上操作，直到左右序列只有一个或者没有元素时停止操作，数列即可有序
挖坑法单趟排序图示：
挖坑法代码：
//挖坑法 void QuickSort2(int* a, int begin, int end) { //递归结束条件 if (begin >= end) { return; } int left = begin; int right = end; int key = a[left]; //坑最初与left一样在开始位置 int hole = left; //每趟排序直到左右相遇 while (left < right) { //右边先走，找到比key值小的 while (left < right && a[right] >= key) { right--; } //将right找到的比key小的元素放进坑中 a[hole] = a[right]; //更新坑的位置 hole = right; //然后左边走找到比key值大的元素停下来 while (left < right && a[left] <= key) { left++; } //将left找到的比key大的元素放进坑中 a[hole] = a[left]; //更新坑的位置 hole = left; } //将key放入坑中 a[hole] = key; //对左右序列继续排序 QuickSort2(a, begin, hole - 1); QuickSort2(a, hole+1, end); }
3、前后指针法
前后指针法思想：
- 定义一个keyi存入随机一个数key的下标换到数组首元素，这里先直接默认key为数组首元素
- 定义一个prev为开头元素的下标，定义一个cur为prev下一个元素的下标
- cur下标处的值与key比较，直到cur找到比key小的值则停下来
- prev下标后移一位然后与cur下标处的值交换，然后cur后移一位（prev相当于前面比key小的那些数的最后一个的下标，所以要先后移一位再交换）
- cur继续寻找比key小的值，反复执行直到cur的值大于n
- 将key与prev下标处的值交换，此时key左边都是小于等于它的，右边都是大于等于它的
- 如此单趟排序便结束，然后继续对key左右序列继续反复执行以上操作，直到左右序列只有一个或者没有元素时停止操作，数列即可有序
前后指针法单趟排序图示：
前后指针法代码：
//交换 void Swap(int* a, int* b) { int tmp = *a; *a = *b; *b = tmp; } //前后指针 void QuickSort3(int* a, int begin, int end) { //递归结束条件 if (begin >= end) { return; } int keyi = begin; int prev = begin; int cur = begin + 1; //每趟排序直到cur下标大于end while (cur <= end) { //cur找比key小的值 if (a[cur] < a[keyi] && ++prev != cur) { Swap(&a[cur], &a[prev]); } cur++; } //将key换到中间 Swap(&a[keyi], &a[prev]); //更新key的下标 keyi = prev; //对左右序列继续排序 QuickSort3(a, begin, keyi - 1); QuickSort3(a, keyi + 1, end); }
快速排序是一种不稳定的排序，它的时间复杂度为O(N*logN)，但最坏可以达到O(N2) ，它的空间复杂度为O(logN)
4、非递归快排
以上三种方法都是采用了分治法递归实现的快排，其实快速排序也可以非递归实现，非递归实现快排需要利用栈来实现
思路：
将数组首尾下标存入栈中，在循环中依次取出作为left和right对数组进行排序，然后对得到的key的左右两边序列也进行相同的操作，其中左边为left到keyi-1，右边为keyi+1到right，这些下标的入栈顺序需要看取出的顺序，如下面代码中是先取出后面元素下标的，所以入栈时要先入后面的，因为栈的特点是先入后出。
非递归快排代码：
（该代码中用到的栈需自己实现，C语言实现栈可参考：栈的实现）
//非递归快速排序 void QuickSortNonR(int* a, int begin, int end) { //创建一个栈 ST st; //初始化栈 STInit(&st); //插入尾元素下标 STPush(&st, end); //插入首元素下标 STPush(&st, begin); //栈为空停下 while (!STEmpty(&st)) { //取出栈顶元素作为left int left = STTop(&st); //取出后在栈中删除 STPop(&st); //取出栈顶元素作为right int right = STTop(&st); //取出后在栈中删除 STPop(&st); int keyi = begin; //每趟排序直到左右相遇 while (left < right) { //右边先走，找到比key值小的 while (left < right && a[right] >= a[keyi]) { right--; } //right找到比key值小的之后换到left走，找到比key值大的 while (left < right && a[left] <= a[keyi]) { left++; } //交换 Swap(&a[left], &a[right]); } //将key值换到中间 Swap(&a[keyi], &a[left]); //更新key的下标 keyi = left; // 当前数组下标样子 [left,keyi-1] keyi [keyi+1, right] //右边还有元素，按顺序插入right和keyi+1 if (keyi + 1 < right) { STPush(&st, right); STPush(&st, keyi + 1); } //左边还有元素，按顺序插入keyi-1和left if (left < keyi - 1) { STPush(&st, keyi - 1); STPush(&st, left); } } STDestroy(&st); }
5、快速排序优化
1）三数取中选key值
前面三种快速排序的方法起初都要随机选取一个值作为key，我们之前是直接默认为数组首元素的，这样不够随机，容易出现最坏的情况，使得它的时间复杂度接近O(N2)，所以我们可以写一个函数来选取这个key，使得它比较随机，而不是直接为首元素。
三数取中：
在一个数组最前面、最后面，中间这三个位置的数中选出大小处于中间的数
// 三数取中 int GetMidi(int* a, int left, int right) { int mid = (left + right) / 2; if (a[left] > a[right]) { if (a[right] > a[mid]) { return right; } else if(a[mid]>a[right]&&a[mid]<a[left]) { return mid; } else { return left; } } else { if (a[left] > a[mid]) { return left; } else if (a[mid] > a[left] && a[mid] < a[right]) { return mid; } else { return right; } } }
在快排时用三数取中法选取key值再将它换到数组开头，可以有效避免出现最坏的情况，大大提升算法效率
2）小区间优化
当递归到数据较小时可以使用插入排序，使得小区间不再递归分割，降低递归次数
三、直接插入排序
1、定义
直接插入排序就是将待排序的记录按照它的关键码值插入到一个已经排好序的有序序列中，直到所有的记录都插入完，得到一个新的有序序列。
插入排序的思想就像我们平时玩扑克牌理牌时一样，将每张牌逐个插入到一个有序的牌的序列里，最终所有的牌都是有序的。
2、代码
//插入排序 void InsertSort(int* a, int n) { for (int i = 0; i < n-1; i++) { //end可看作从左至右有序的最后一个数的下标 int end = i; int tmp = a[end + 1]; while (end >= 0) { if (tmp < a[end]) { a[end + 1] = a[end]; } else { break; } end--; } //此时tmp的值大于或等于下标为end的值，所以插入在它的后面 a[end+1] = tmp; } }
当插入第i(i>=1)个元素时，前面的a[0],a[1],…,a[i-1]已经排好序，此时用a[i]的排序码与a[i-1],a[i-2],…的排序码顺序进行比较，找到插入位置即将a[i]插入，原来位置上的元素顺序后移
直接插入排序是一种稳定的排序算法，元素集合越接近有序，直接插入排序算法的时间效率越高，它的时间复杂度为O(n2)，空间复杂度为O(1)
四、希尔排序
如需更详细步骤可见：希尔排序
1、定义
希尔排序法又称缩小增量法。希尔排序的基本思想是：先选定一个整数gap，把待排序数列中所有记录分成个gap个组，所有距离为gap的记录分在同一组内，并对每一组内的记录进行排序。然后缩小gap，可以取它的一半，重复上述分组和排序的工作。当gap到达1时，该数列便已有序。
当gap=1时相当于直接插入排序。所以希尔排序可以拆分为预排序和直接插入排序两部分：
- 预排序：当gap大于1时，预排序可以让大的数更快地到序列后面，小的更快到前面，gap越大跳的越快越不接近有序，gap越小跳的越慢，越接近有序
- 直接插入排序：gap不断减小，当gap为1时相当于直接插入排序，进行最后一次直接插入排序后数列便已有序
2、图解
对如下图数列用希尔排序算法进行排序：
该数列一共有8个数，我们选定最初的gap值为8/2=4，相隔4的数为一组，如下图，同一组数颜色相同
对每一组排序了之后，gap再除2变为2
对每一组排序了之后，gap再除2变为1，此时相当于直接插入排序
3、代码
//希尔排序 void ShellSort(int* a, int n) { //gap进入循环后会先除2 int gap = n ; while (gap > 1) { gap /= 2; for (int i = 0; i < n - gap; i++) { int end = i; int tmp = a[end + gap]; while (end >= 0) { if (tmp < a[end]) { a[end + gap] = a[end]; } else { break; } end -= gap; } a[end + gap] = tmp; } } }
希尔排序是不稳定的，它是对直接插入排序的优化，因为gap的取值方法不止一种，导致希尔排序的时间复杂度很难去计算
五、选择排序
1、排序思想
每一次从待排序的数据元素中选出最小（或最大）的一个元素，存放在序列的起始位置，直到全部待排序的数据元素排完 。
- 在元素集合array[i]–array[n-1]中选择关键码最大(小)的数据元素
- 若它不是这组元素中的最后一个(第一个)元素，则将它与这组元素中的最后一个（第一个）元素交换
- 在剩余的array[i]–array[n-2]（array[i+1]–array[n-1]）集合中，重复上述步骤，直到集合剩余1个元素
2、代码
这里的代码是优化过的，同时找最大和最小元素，最小的放左边，最大的放右边，然后对除了两边找出的值外剩下的元素继续进行相同操作，直到left不再小于right则有序
//交换 void Swap(int* a, int* b) { int tmp = *a; *a = *b; *b = tmp; } //选择排序 void SelectSort(int* a, int n) { int left = 0; int right = n - 1 ; while (left < right) { int maxi = left; int mini = left; for (int i = left + 1; i <= right; i++) { //找区间内最大元素下标 if (a[i] > a[maxi]) { maxi = i; } //找区间内最小元素下标 if (a[i] < a[mini]) { mini = i; } } Swap(&a[left], &a[mini]); //如果最大数的下标等于left，上一次交换最小数时已经被换到下标为mini元素上 if (maxi == left) { maxi = mini; } Swap(&a[right], &a[maxi]); left++; right--; } }
时间复杂度：O(N2)
空间复杂度：O(1)
六、堆排序
如需更详细步骤可见：堆排序
1、定义
堆排序(Heapsort)是指利用堆积树（堆）这种数据结构所设计的一种排序算法，它是选择排序的一种。它是通过堆来进行选择数据。需要注意的是排升序要建大堆，排降序建小堆
1、根据要排什么序建大堆或小堆，此时堆顶端的元素就是最值
2、将顶端元素和末尾元素交换，此时末尾元素就是有序的，剩下的还有n-1个元素
3、将剩下的n-1个元素再次构建成堆，然后将堆顶端元素与第n-1个元素互换，反复执行便可得到有序数组
2、向上调整建堆排序
使用向上调整算法建堆的堆排序
例如：将数组a用堆排序按从小到大排列（升序）
向上调整算法的前提条件是：前面的元素是堆
对于单个结点来说既可以看作一个大堆，所以便可以通过向上调整算法依次对数组元素进行调整，那进行调整的元素前就一定是堆，满足条件
创建好的大堆如下：
将堆的顶端元素7和末尾元素2进行交换，对除7外剩下的元素进行向下调整重新构建大堆
此时7已经是有序的，将元素6和元素3进行交换，对除6、7外剩下元素进行向下调整重新构建大堆
此时6、7已经有序，将元素5和元素2进行交换，对除5、6、7外剩下元素进行向下调整重新构建大堆
此时5、6、7已经有序，将元素4和元素2进行交换，此时数组已经有序
排序完数组a变为
用向上调整算法建堆的升序的堆排序代码如下：
#include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<stdbool.h> typedef int HPDataType; //交换结点的函数 void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2) { HPDataType tmp = *p1; *p1 = *p2; *p2 = tmp; } //向上调整算法(大堆) void AdjustUp(HPDataType* a, int child) { //找出双亲的下标 int parent = (child - 1) / 2; while (child>0) { //孩子结点比双亲大则交换 if (a[child] > a[parent]) { Swap(&a[child], &a[parent]); child = parent; parent = (child - 1) / 2; } else { break; } } } //向下调整算法(大堆) void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent) { //先默认左孩子是较大的 int child = parent * 2 + 1; while (child < n) { //找出左右孩子中较大的 if (child + 1 < n && a[child + 1] > a[child]) { child++; } //孩子节点更小则交换 if (a[child] > a[parent]) { Swap(&a[child], &a[parent]); parent = child; child = parent * 2 + 1; } else { break; } } } //排序 void HeapSort(int* a, int n) { //向上调整建堆 for (int i = 1; i < n; i++) { AdjustUp(a, i); } //最尾端数据下标为总数减一 int end = n - 1; while (end > 0) { Swap(&a[0], &a[end]); //对剩余元素进行向下调整 AdjustDown(a, end, 0); end--; } }
建堆的：
空间复杂度：O(1)
平均时间复杂度：O(nlogn)
3、向下调整建堆排序
向下调整建堆排序与向上调整建堆排序不同的地方就在于建堆时用的算法不同，建好堆之后的后续操作都是相同的。
还是对上面那个案例，我们用向下调整算法建堆
向下调整算法前提条件：左右子树必须是堆，才能调整
对于这个完全二叉树来说，它的倒数第一个非叶子节点2的左子树为4，没有右子树，可以用向下调整，再上一个节点6的左右子树是单个节点也可以看作堆，所有我们就可以从倒数第一个非叶子节点也就是最后一个节点的父亲开始向下调整：
利用向下调整建好堆之后的后续操作与向上调整建好堆之后的操作一样，这里就不再演示
用向下调整算法建堆的升序的堆排序代码更改如下：
void HeapSort(int* a, int n) { 向上调整建堆 //for (int i = 1; i < n; i++) //{ // AdjustUp(a, i); //} // //向下调整建堆 for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--) { AdjustDown(a, n, i); } //最尾端数据下标为总数减一 int end = n - 1; while (end > 0) { Swap(&a[0], &a[end]); //对剩余元素进行向下调整 AdjustDown(a, end, 0); end--; } }
利用向下调整建堆的堆排序时间复杂度为：O(n)，比利用向上调整建堆更优
七、归并排序
如需更详细步骤可见：归并排序
1、定义
归并排序（MERGE-SORT）是建立在归并操作上的一种有效的排序算法,该算法是采用分治法的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为二路归并。
2、思想及图解
归并排序算法有两个基本的操作，一个是分解，另一个是合并。分解是把原数组划分成两个子数组的过程，合并可以将两个有序数组合并成一个更大的有序数组。
将待排序的线性表不断地切分成若干个子表，直到每个子表只包含一个元素，这时，可以认为只包含一个元素的子表是有序表。将子表两两合并，每合并一次，就会产生一个新的且更长的有序表，重复这一步骤，直到最后只剩下一个子表，这个子表就是排好序的线性表。
3、代码
1）递归实现
//归并排序 void _MergeSort(int* a, int* tmp, int begin, int end) { //递归结束条件 if (begin >= end) { return; } int mid = (begin + end) / 2; _MergeSort(a, tmp, begin, mid); _MergeSort(a, tmp, mid+1, end); // 归并到tmp数据组，再拷贝回去 int begin1 = begin; int end1 = mid; int begin2 = mid + 1; int end2 = end; int index = begin; //begin小于end说明还有两部分都还有数据 while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2) { if (a[begin1] < a[begin2]) { tmp[index++] = a[begin1++]; } else { tmp[index++] = a[begin2++]; } } //由于右边没有数据跳出的上一个循环，将左边剩下的数放入tmp数组对应位置 while (begin1 <= end1) { tmp[index++] = a[begin1++]; } //由于左边没有数据跳出的上一个循环，将右边剩下的数放入tmp数组对应位置 while (begin2 <= end2) { tmp[index++] = a[begin2++]; } // 拷贝回原数组 memcpy(a + begin, tmp + begin, (end - begin + 1) * sizeof(int)); } void MergeSort(int* a, int n) { int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n); if (tmp == NULL) { perror("malloc fail"); return; } _MergeSort(a, tmp, 0, n - 1); free(tmp); }
2）非递归实现
非递归实现时当gap的值不同时有许多数组的数据个数不适合当前gap，访问就会越界，比如9个值时当gap==1就会访问到下标为9的下标越界，所以要在代码中加入解决措施。当第一组右边界越界，第二组左边界也一定越界了，所以可分为第二组左边界越界和第二组右边界越界两种情况处理。
//非递归归并 void MergeSortNonR(int* a, int n) { int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n); if (tmp == NULL) { perror("malloc fail"); return; } int gap = 1; while (gap < n) { for (int i = 0; i < n; i += 2 * gap) { // 归并到tmp数据组，再拷贝回去 int begin1 = i; int end1 = i + gap - 1; int begin2 = i + gap; int end2 = i + 2 * gap - 1; // 如果第二组不存在，这一组不用归并了 if (begin2 >= n) { break; } // 如果第二组的右边界越界，修正一下 if (end2 >= n) { end2 = n - 1; } int index = i; //begin小于end说明还有两部分都还有数据 while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2) { if (a[begin1] < a[begin2]) { tmp[index++] = a[begin1++]; } else { tmp[index++] = a[begin2++]; } } //由于右边没有数据跳出的上一个循环，将左边剩下的数放入tmp数组对应位置 while (begin1 <= end1) { tmp[index++] = a[begin1++]; } //由于左边没有数据跳出的上一个循环，将右边剩下的数放入tmp数组对应位置 while (begin2 <= end2) { tmp[index++] = a[begin2++]; } // 拷贝回原数组 memcpy(a + i, tmp + i, (end2 - i + 1) * sizeof(int)); } gap *= 2; } free(tmp); }
时间复杂度：O(N*logN)
空间复杂度：O(N)
稳定性：稳定
八、计数排序
1、原理
计数排序又称为鸽巢原理，是对哈希直接定址法的变形应用。
操作步骤为：
- 统计相同元素出现次数
- 根据统计的结果将序列回收到原来的序列中
2、图解
首先找出数组a的最大值和最小值，计算出range
创建一个range大小的数组count，在下标为i的位置存储原数组中大小为i+min的数的个数
然后按顺序将数据放入原数组中
按照这样便可以将所有数据排好序
3、代码
//计数排序 void CountSort(int* a, int n) { int min = a[0]; int max = a[0]; //找出最大值和最小值 for (int i = 1; i < n; i++) { if (a[i] < min) { min = a[i]; } if (a[i] > max) { max = a[i]; } } //确定建立数组的长度 int range = max - min + 1; int* count = (int*)malloc(sizeof(int) * range); //printf("range:%d\n", range); if (count == NULL) { perror("malloc fail"); return; } //初始化数组count memset(count, 0, sizeof(int) * range); //计数 for (int i = 0; i < n; i++) { count[a[i] - min]++; } //排序 int j = 0; for (int i = 0; i < range; i++) { while (count[i]--) { a[j++] = min + i; } } }
计数排序在数据范围集中时，效率很高，但是适用范围及场景有限，仅适用于整型排序。
时间复杂度：O(N+range)
空间复杂度：O(range)
稳定性：稳定
九、总结
排序：所谓排序，就是使一串记录，按照其中的某个或某些关键字的大小，递增或递减的排列起来的操作。
稳定性：假定在待排序的记录序列中，存在多个具有相同的关键字的记录，若经过排序，这些记录的相对次序保持不变，即在原序列中r[i]=r[j]，且r[i]在r[j]之前，而在排序后的序列中，r[i]仍在r[j]之前，则称这种排序算法是稳定的；否则称为不稳定的。
内部排序：数据元素全部放在内存中的排序。
外部排序：数据元素太多不能同时放在内存中，根据排序过程的要求不能在内外存之间移动数据的排序。
时空复杂度及稳定性：
| 排序算法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 稳定性 |
| 直接插入排序 | O(N2) | O(1) | 稳定 |
| 希尔排序 | O(N1.3) | O(1) | 不稳定 |
| 选择排序 | O(N2) | O(1) | 不稳定 |
| 堆排序 | O(N*logN) | O(1) | 不稳定 |
| 冒泡排序 | O(N2) | O(1) | 稳定 |
| 快速排序 | O(N*logN) | O(logN) | 不稳定 |
| 归并排序 | O(N*logN) | O(N) | 稳定 |
| 计数排序 | O(MAX(N,范围)) | O(范围) | 稳定 |
