每日刷题|回溯法解决组合问题

什么是回溯法？

       回溯法的实现方式是通过递归函数来实现的，每次递归时都会考虑一种可能的解，并判断这种解是否符合要求。如果符合要求，就返回这个解；如果不符合要求，就回溯到上一步，尝试另一种可能的解。回溯算法常用于求解组合、排列、子集等问题，例如八皇后问题、数独等。回溯算法的时间复杂度通常比较高，因为需要枚举所有可能的解，所以在实际应用中需要考虑优化算法。

回溯法用在何处？

回溯法通常用于解决以下问题：

1. 生成所有的排列或组合。

2. 解决搜索问题，如迷宫问题、数独问题、八皇后问题等。

3. 解决决策问题，如0-1背包问题、旅行商问题等。

4. 解决图论问题，如最小生成树问题、哈密尔顿回路问题等。

在这些问题中，回溯法一般通过深度优先搜索的方式遍历所有的可能性，直到找到符合条件的解或搜索到所有可能性。

回溯法的理解

本文参考了一位大佬的题解，详细的介绍了回溯法：链接

       记住一句话：for循环横向遍历，递归纵向遍历，回溯不断调整结果集。 这句话将从始至终贯穿我们对于以上问题的回溯解决办法。

🌸一、组合

题目链接：77. 组合

题目描述：

       给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。

       你可以按 任何顺序 返回答案。

示例 1：

输入：n = 4, k = 2

输出：

[

 [2,4],

 [3,4],

 [2,3],

 [1,2],

 [1,3],

 [1,4],

]

示例 2：

输入：n = 1, k = 1

输出：[[1]]

提示：

• 1 <= n <= 20
• 1 <= k <= n

本题思路：

       采用经典的“回溯三部曲”：

       1、定义两个全局变量，一个用来存放符合条件单一结果（path），一个用来存放符合条件结果的集合（result）。注意要记得用一个变量来记录遍历的位置。

       2、回溯的主体，回溯终止条件。path保存一组数据，每次遍历到叶子节点，再插入到result中，并且回溯到上一个节点。

       3、单层搜索的过程。for循环用来横向遍历，递归的过程是纵向遍历。

一图流：（以n=4,k=3为例）

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> rtu;
    vector<int> path;
    void backtrack(int n,int k,int index)
    {
        if(path.size()==k)//结束条件
        {
            rtu.push_back(path);
            return;
        }
        for(int i=index;i<=n;i++)//横向遍历
        {
            path.push_back(i);
            backtrack(n,k,i+1);//纵向递归
            path.pop_back();//回溯
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        backtrack(n,k,1);
        return rtu;
    }
};

加入剪枝优化：

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> rtu;
    vector<int> path;
    void backtrack(int n,int k,int index)
    {
        if(path.size()==k)//结束条件
        {
            rtu.push_back(path);
            return;
        }
        for(int i=index;i<=n-(k-path.size())+1;i++)//横向遍历
        {
            path.push_back(i);
            backtrack(n,k,i+1);//纵向递归
            path.pop_back();//回溯
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        backtrack(n,k,1);
        return rtu;
    }
};

💮二、组合总和

题目链接：39. 组合总和

题目描述：

       给你一个 无重复元素 的整数数组 candidates 和一个目标整数 target ，找出 candidates 中可以使数字和为目标数 target 的 所有 不同组合 ，并以列表形式返回。你可以按 任意顺序 返回这些组合。

 candidates 中的 同一个 数字可以 无限制重复被选取 。如果至少一个数字的被选数量不同，则两种组合是不同的。

       对于给定的输入，保证和为 target 的不同组合数少于 150 个。

示例 1：

输入：candidates = [2,3,6,7], target = 7

输出：[[2,2,3],[7]]

解释：

2 和 3 可以形成一组候选，2 + 2 + 3 = 7 。注意 2 可以使用多次。

7 也是一个候选， 7 = 7 。

仅有这两种组合。

示例 2：

输入: candidates  

= [2,3,5], target = 8

输出: [[2,2,2,2],[2,3,3],[3,5]]

示例 3：

输入: candidates = [2], target = 1

输出: []

提示：

• 1 <= candidates.length <= 30
• 2 <= candidates[i] <= 40
• candidates 的所有元素 互不相同
• 1 <= target <= 40

本题思路：

      同样采用经典的“回溯三部曲”，但是做了些许改变。相较于上一题，在这里不需要对于index进行+1操作，跳出循环条件改为对target的两次判断。增加一个变量用于记录总和。

class Solution {
public:
vector<int> path;
vector<vector<int>> rtu;
void backtrack(vector<int>& candidates,int target,int index,int sum)
{
    if(target==sum)
    {
        rtu.push_back(path);
        return;
    }
    if(sum>target)
    {
        return;
    }
    for(int i=index;i<candidates.size();i++)
    {
        sum+=candidates[i];
        path.push_back(candidates[i]);
        backtrack(candidates,target,i,sum);
        path.pop_back();
        sum-=candidates[i];
    }
}
public:
    vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
        rtu.clear();
        path.clear();
        backtrack(candidates,target,0,0);
        return rtu;
    }
};

加入剪枝优化：

class Solution {
public:
vector<int> path;
vector<vector<int>> rtu;
void backtrack(vector<int>& candidates,int target,int index,int sum)
{
    if(target==sum)
    {
        rtu.push_back(path);
        return;
    }
    if(sum>target)
    {
        return;
    }
    for(int i=index;i<candidates.size()&&sum + candidates[i] <= target;i++)
    {
        sum+=candidates[i];
        path.push_back(candidates[i]);
        backtrack(candidates,target,i,sum);
        path.pop_back();
        sum-=candidates[i];
    }
}
public:
    vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
        rtu.clear();
        path.clear();
        sort(candidates.begin(),candidates.end());
        backtrack(candidates,target,0,0);
        return rtu;
    }
};

🌺三、组合总和II

题目链接：40. 组合总和 II

题目描述：

       给定一个候选人编号的集合 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。

  candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用 一次 。

       注意：解集不能包含重复的组合。

示例 1:

输入: candidates = [10,1,2,7,6,1,5], target = 8

输出:

[

[1,1,6],

[1,2,5],

[1,7],

[2,6]

]

示例 2:

输入: candidates = [2,5,2,1,2], target = 5

输出:

[

[1,2,2],

[5]

]

提示:

• 1 <= candidates.length <= 100
• 1 <= candidates[i] <= 50
• 1 <= target <= 30

本题思路：

       这里相较于上一题主要的变动为去重的操作：

       如果candidates[i] == candidates[i - 1] 并且 used[i - 1] == false，就说明：前一个树枝，使用了candidates[i - 1]，也就是说同一树层使用过candidates[i - 1]。基于以上再加入剪枝操作就可以完成去重的操作了！与此相对的还要对for循环加入continue操作。

class Solution {
public:
vector<int> path;
vector<vector<int>> rtu;
void backtrack(vector<int>& candidates, int target,int num,int index,vector<bool>& used)
{
    if(target==num)
    {
        rtu.push_back(path);
        return;
    }
    for(int i=index;i<candidates.size()&&num+candidates[i]<=target;i++)
    {
        if(i>0&&candidates[i]==candidates[i-1]&&used[i-1]==false)
        continue;
        num+=candidates[i];
        path.push_back(candidates[i]);
        used[i]=1;
        backtrack(candidates,target,num,i+1,used);
        num-=candidates[i];
        path.pop_back();
        used[i]=0;
    }
}
public:
    vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target) {
        vector<bool> used(candidates.size(), false);
        path.clear();
        rtu.clear();
        sort(candidates.begin(),candidates.end());
        backtrack(candidates,target,0,0,used);
        return rtu;
    }
};