最大子数组和
链接: 53. 最大子数组和
给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
子数组 是数组中的一个连续部分。
示例 1：
输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。
示例 2：
输入：nums = [1]
输出：1
示例 3：
输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23
1.状态表示*
我们定义一个状态表示：
dp[i] 表⽰：以 i 位置元素为结尾的「所有⼦数组」中和的最⼤和。
2.状态转移方程dp[i] 的所有可能可以分为以下两种：
- i. ⼦数组的⻓度为 1 ：此时 dp[i] = nums[i] ；
- ii. ⼦数组的⻓度⼤于 1 ：此时 dp[i] 应该等于以 i - 1 做结尾的「所有⼦数组」中和的最⼤值再加上 nums[i] ，也就是 dp[i - 1] + nums[i] 。
由于我们要的是「最⼤值」，因此应该是两种情况下的最⼤值，因此可得转移⽅程：
dp[i] = max(nums[i], dp[i - 1] + nums[i])
3. 初始化
可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：
i. 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
ii. 「下标的映射关系」。
在本题中，最前⾯加上⼀个格⼦，并且让 dp[0] = 0 即可。过程中会有「溢出」的⻛险，这⾥ INF 折半取0x3f3f3f3f ，⾜够⼩即可）
4. 填表顺序
根据「状态转移⽅程」易得，填表顺序为「从左往右」
5. 返回值
状态表⽰为「以 i 为结尾的所有⼦数组」的最⼤值，但是最⼤⼦数组和的结尾我们是不确定的。
因此我们需要返回整个 dp 表中的最⼤值。
代码：
int maxSubArray(vector<int>& nums) { int n=nums.size(); if(n==1) return nums[0]; vector<int> dp(n); dp[0]=nums[0]; int Max=nums[0]; for(int i=1;i<n;i++) { dp[i]=max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]); Max=max(Max,dp[i]); } return Max; }
环形子数组的最大和
链接: 918. 环形子数组的最大和
给定一个长度为 n 的环形整数数组 nums ，返回 nums 的非空 子数组 的最大可能和 。
环形数组 意味着数组的末端将会与开头相连呈环状。形式上， nums[i] 的下一个元素是 nums[(i + 1) % n] ， nums[i] 的前一个元素是 nums[(i - 1 + n) % n] 。
子数组 最多只能包含固定缓冲区 nums 中的每个元素一次。形式上，对于子数组 nums[i], nums[i + 1], …, nums[j] ，不存在 i <= k1, k2 <= j 其中 k1 % n == k2 % n 。
示例 1：
输入：nums = [1,-2,3,-2]
输出：3
解释：从子数组 [3] 得到最大和 3
示例 2：
输入：nums = [5,-3,5]
输出：10
解释：从子数组 [5,5] 得到最大和 5 + 5 = 10
示例 3：
输入：nums = [3,-2,2,-3]
输出：3
解释：从子数组 [3] 和 [3,-2,2] 都可以得到最大和 3
算法思路：
本题与「最⼤⼦数组和」的区别在于，考虑问题的时候不仅要分析「数组内的连续区域」，还要考虑「数组⾸尾相连」的⼀部分。结果的可能情况分为以下两种：
- i. 结果在数组的内部，包括整个数组；
- ii. 结果在数组⾸尾相连的⼀部分上。
其中，对于第⼀种情况，我们仅需按照「最⼤⼦数组和」的求法就可以得到结果，记为 fmax 。
对于第⼆种情况，我们可以分析⼀下：
- i. 如果数组⾸尾相连的⼀部分是最⼤的数组和，那么数组中间就会空出来⼀部分；
- ii. 因为数组的总和 sum 是不变的，那么中间连续的⼀部分的和⼀定是最⼩的；
因此，我们就可以得出⼀个结论，对于第⼆种情况的最⼤和，应该等于 sum - gmin ，其中gmin 表⽰数组内的「最⼩⼦数组和」。
两种情况下的最⼤值，就是我们要的结果。
但是，由于数组内有可能全部都是负数，第⼀种情况下的结果是数组内的最⼤值（是个负数），第⼆种情况下的 gmin == sum ，求的得结果就会是 0 。若直接求两者的最⼤值，就会是 0 。但是实际的结果应该是数组内的最⼤值。对于这种情况，我们需要特殊判断⼀下。
1.状态表示*
g[i] 表⽰：以 i 做结尾的「所有⼦数组」中和的最小值。
f[i] 表⽰：以 i 做结尾的「所有⼦数组」中和的最大值。（求最大值详见上题）
2.状态转移方程
dp[i] 的所有可能可以分为以下两种：
- i. ⼦数组的⻓度为 1 ：此时 g[i] = nums[i] ；
- ii. ⼦数组的⻓度⼤于 1 ：此时 g[i] 应该等于以 i - 1 做结尾的「所有⼦数组」中和的最小值再加上 nums[i] ，也就是 g[i - 1] + nums[i] 。
由于我们要的是「最小值」，因此应该是两种情况下的最小值，因此可得转移⽅程：
g[i] = min(nums[i], g[i - 1] + nums[i])
3. 初始化
可以在最前⾯加上⼀个辅助结点，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：
- i. 辅助结点⾥⾯的值要保证后续填表是正确的；
- ii. 下标的映射关系。
在本题中，最前⾯加上⼀个格⼦，并且让 g[0] = 0 即可。
4. 填表顺序
根据状态转移⽅程易得，填表顺序为「从左往右」。
5. 返回值
a. 先找到 f 表⾥⾯的最⼤值-> fmax ；
b. 找到 g 表⾥⾯的最⼩值-> gmin ；
c. 统计所有元素的和-> sum ；
b. 返回 sum == gmin ? fmax : max(fmax, sum - gmin)
代码：
int maxSubarraySumCircular(vector<int>& nums) { int n=nums.size(); vector<int> f(n),g(n); f[0]=g[0]=nums[0]; int gmin=nums[0]; int fmax=gmin; for(int i=1;i<n;i++) { f[i]=max(f[i-1]+nums[i],nums[i]); fmax=max(fmax,f[i]); g[i]=min(g[i-1]+nums[i],nums[i]); gmin=min(gmin,g[i]); } int sum=0; for(int i=0;i<n;i++) sum+=nums[i]; int ret=sum-gmin; if(ret==0) return fmax; return fmax>ret?fmax:ret; }
