前言

推荐系统是现代互联网平台中的重要组成部分，它可以根据用户的兴趣和行为，向其推荐个性化的内容。协同过滤是推荐系统中常用的一种方法，它基于用户的行为数据，通过计算用户之间的相似度，找到相似用户的喜好，从而给用户推荐相似的内容。

一、协同过滤算法简介

协同过滤是一种基于用户和物品之间关系的推荐算法。它主要分为两类：基于用户的协同过滤（User-Based Collaborative Filtering，简称UBCF）和基于物品的协同过滤（Item-Based Collaborative Filtering，简称IBCF）。

• 基于用户的协同过滤：通过计算用户之间的相似度，找到与目标用户相似的用户，再推荐这些相似用户喜欢的物品给目标用户。
• 基于物品的协同过滤：通过计算物品之间的相似度，找到与目标物品相似的物品，再推荐这些相似物品给喜欢目标物品的用户。

二、计算相似度

在协同过滤算法中，需要计算用户或物品之间的相似度。常用的相似度计算方法有：

• 皮尔逊相关系数（Pearson Correlation Coefficient）
• 余弦相似度（Cosine Similarity）
• Jaccard相似度（Jaccard Similarity）

在本文的示例中，我们将使用余弦相似度作为相似度计算方法。

三、Python实现简单的协同过滤推荐系统

def loadExData():
    return[[1,1,1,0,0],
            [2,2,2,0,0],
            [1,1,1,0,0],
            [5,5,5,0,0],
            [1,1,0,2,2],
            [0,0,0,3,3],
            [0,0,0,1,1]]

def loadExData2():
    return[[0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 5],
           [0, 0, 0, 3, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 3],
           [0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 1, 0, 4, 0],
           [3, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0],
           [5, 4, 5, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 0],
           [0, 0, 0, 0, 5, 0, 1, 0, 0, 5, 0],
           [4, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 1],
           [0, 0, 0, 4, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 4],
           [0, 0, 0, 2, 0, 2, 5, 0, 0, 1, 2],
           [0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 4, 0],
           [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 0]]
    
from numpy import * 
from numpy import linalg as la 

#欧氏距离
def euclidSim(inA,inB):
    return 1.0/(1.0+la.norm(inA-inB))

#皮尔逊相关系数  
def pearsSim(inA,inB):

    if len(inA)<3:return 1.0

    return 0.5+0.5*corrcoef(inA,inB,rowvar=0)[0][1]

#余弦相似度
def cosSim(inA,inB):

    num=float(inA.T*inB)
    denom=la.norm(inA)*la.norm(inB)

    return 0.5+0.5*(num/denom)
    
    
#基于物品相似度的推荐引擎（标准相似度计算方法下的用户估计值  ）
def standEst(dataMat,user,simMeas,item):

    #商品数目
    n=shape(dataMat)[1]

    #两个用于计算估计评分值的变量
    simTotal=0.0;
    ratSimTotal=0.0

    #遍历所有商品，并将它与所有的物品进行比较
    for j in range(n):

        #用户对某个物品的评分
        userRating=dataMat[user,j]

        if userRating==0:
            continue

        # logical_and:矩阵逐个元素运行逻辑与,返回值为每个元素的True,False  
        # dataMat[:,item].A>0: 第item列中大于0的元素  
        # dataMat[:,j].A: 第j列中大于0的元素  
        # overLap: dataMat[:,item],dataMat[:,j]中同时都大于0的那个元素的行下标(一个向量) 

        overLap=nonzero(logical_and(dataMat[:,item].A>0,\
                                    dataMat[:,j].A>0))[0]

        print(j)
        print("------overLap------")
        print(overLap)

        if len(overLap)==0:
            similarity=0

        # 计算overLap矩阵的相似度
        else: similarity=simMeas(dataMat[overLap,item],\
                        dataMat[overLap,j])

        print("dataMat[overLap,item:")
        print(dataMat[overLap,item])
        print("dataMat[overLap,j:")
        print(dataMat[overLap,j])
        print ('the %d and %d similarity is:%f' % (item,j,similarity))

        # 累计总相似度(不太理解)
#        假设A评分未知，A,B相似度0.9，B评分5,；A C相似度0.8，C评分4.
#        那么按照公式A评分=（0.9*5+0.8*4）/（0.9+0.8）
#       相当于加权平均（如果除以2），但是因为2个评分的权重是不一样的，所以应除以相似度之和

        simTotal+=similarity

        # ratSimTotal = 相似度*元素值 
        ratSimTotal+=similarity*userRating

        print("ratSimTotal+=similarity*userRating:")
        print(ratSimTotal)

    if simTotal==0:
        return 0
    else:
        return ratSimTotal/simTotal

#对某个用户产生最高的N个推荐结果
#user 表示要推荐的用户编号
def recommend(dataMat,user,N=3,simMeas=cosSim,estMethod=standEst):

    #对给定用户建立一个未评分的物品矩阵
    unratedItems=nonzero(dataMat[user,:].A==0)[1] #第user行中等于0的元素 

#    print(dataMat[user,:].A==0)----[[ True  True  True ...,  True False  True]]
#    对于二维数组b2，nonzero(b2)所得到的是一个长度为2的元组。它的第0个元素是数组a中值不为0的元素的第0轴的下标，第1个元素则是第1轴的下标，因此从下面的结果可知b2[0,0]、b[0,2]和b2[1,0]的值不为0：
#
#>>> b2 = np.array([[True, False, True], [True, False, False]])  
#>>> np.nonzero(b2)  
#(array([0, 0, 1], dtype=int64), array([0, 2, 0], dtype=int64))  
   
    if len(unratedItems)==0:
        return 'you rated everything'

    #给未评分物品存放预测得分的列表
    itemScores=[]

    for item in unratedItems:
        #对每个未评分物品通过standEst（）方法来预测得分
        print("item------------")
        print(item)

        estimatedScore=estMethod(dataMat,user,simMeas,item)

        #将物品编号和估计得分存放在列表中
        itemScores.append((item,estimatedScore))

    #sorted排序函数，key 是按照关键字排序，lambda是隐函数，固定写法，
    #jj表示待排序元祖，jj[1]按照jj的第二列排序，reverse=True，降序；[:N]前N个
    return sorted(itemScores,key=lambda jj:jj[1],reverse=True)[:N]
    
#利用SVD提高推荐效果
#基于SVD的评分估计
def svdEst(dataMat,user,simMeas,item):

    #商品数目    
    n=shape(dataMat)[1]
    simTotal=0.0;ratSimTotal=0.0

    #SVD分解为：U*S*V
    U,Sigma,VT=la.svd(dataMat)

    #分解后只利用90%能量的奇异值，存放在numpy数组里面
    Sig4=mat(eye(4)*Sigma[:4])

    #利用U矩阵将物品转换到低维空间中
    xformeditems=dataMat.T*U[:,:4]*Sig4.I

    for j in range(n):
        userRating=dataMat[user,j]

        if userRating==0 or j==item:continue
        similarity=simMeas(xformeditems[item,:].T,\
                            xformeditems[j,:].T)
        print ('the %d and %d similarity is :%f' % (item,j,similarity))
        simTotal+=similarity
        ratSimTotal+=similarity*userRating

    if simTotal==0:return 0
    else: return ratSimTotal/simTotal 
    
if __name__ == '__main__':
   myMat=mat(loadExData2())
   print(recommend(myMat,2))

总结

这段代码主要是通过协同过滤的方式实现一个电影推荐系统。具体流程如下：

1. 首先，定义了两个函数loadExData()和loadExData2()，它们返回的是用户对电影的评分数据，这些数据被用来作为推荐系统的输入。
2. 然后，定义了三个函数euclidSim()，pearsSim()和cosSim()，它们分别用于计算欧氏距离、皮尔逊相关系数和余弦相似度。这些相似度计算方法用于计算用户或者物品之间的相似性。
3. 接下来，定义了两个函数standEst()和svdEst()，它们分别用于基于标准相似度和SVD（奇异值分解）的评分估计。这些评分估计方法用于预测用户对未评分物品的评分。
4. 然后，定义了一个函数recommend()，它用于对某个用户产生最高的N个推荐结果。这个函数首先找出用户未评分的物品，然后对每个未评分物品通过评分估计方法来预测得分，最后将预测得分最高的N个物品推荐给用户。
5. 最后，在主函数中，加载了用户对电影的评分数据，然后调用recommend()函数为第2个用户推荐电影。

总的来说，这段代码实现了一个基于协同过滤的电影推荐系统，通过计算用户或者物品之间的相似性，预测用户对未评分物品的评分，然后将预测得分最高的物品推荐给用户。