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一、树型结构（了解）
1.1概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
- 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
- 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <=m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
- 树是递归定义的。
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注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
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1.2专业术语（重要）
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结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4
树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：
非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支结点
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林
1.3树的表示形式（了解）
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
class Node { int value; // 树中存储的数据 Node firstChild; // 第一个孩子引用 Node nextBrother; // 下一个兄弟引用 }
编辑 1.4树的应用
文件系统管理（目录和文件）
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二、二叉树（重点）
2.1概念
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从上图可以看出：
1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
编辑 大自然的奇观：
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2.2两种特殊的二叉树
1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是 
，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点对应时，称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
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2.3二叉树的性质
1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 
(i>0)个结点（k层，每一层都放满）
2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 
(k>=0)
（2^k-1=n-->2^k=n+1）
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
(叶子节点数比度为2的节点个数多1)
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 
上取整
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5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子
1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
A n
B n+1
C n-1
D n/2
3.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
A 383
B 384
C 385
D 386
4.一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（ ）
A 11
B 10
C 8
D 12
答案：
1.B
2.A
3.B
4.B
2.4二叉树的存储
二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：
// 孩子表示法 class Node { int val; // 数据域 Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树 Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树 } // 孩子双亲表示法 class Node { int val; // 数据域 Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树 Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树 Node parent; // 当前节点的根节点 }
孩子双亲表示法后序在平衡树位置介绍，本文采用孩子表示法来构建二叉树。
2.5 二叉树的基本操作
2.5.1前置说明
在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于现在大家对二叉树结构掌握还不够深入，为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。
public class BinaryTree { static class TreeNode{ public char val; public TreeNode left; public TreeNode right; public TreeNode(char val) { this.val = val; } } public TreeNode createTree(){ TreeNode A=new TreeNode('A'); TreeNode B=new TreeNode('B'); TreeNode C=new TreeNode('C'); TreeNode D=new TreeNode('D'); TreeNode E=new TreeNode('E'); TreeNode F=new TreeNode('F'); TreeNode G=new TreeNode('G'); TreeNode H=new TreeNode('H'); A.left=B; A.right=C; B.left=D; B.right=E; C.left=F; C.right=G; E.right=H; //保留根节点 return A; } }
注意：上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解。
再看二叉树基本操作前，再回顾下二叉树的概念，二叉树是
1. 空树
2. 非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的。
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从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。
2.5.2二叉树的遍历
1.前中后序遍历
学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。
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在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：
- NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。
- LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树。
- LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点。
// 前序遍历 public void preOrder(TreeNode root) { if(root == null) return; System.out.print(root.val+" "); preOrder(root.left); preOrder(root.right); } /* 遍历思路 List<Integer> ret = new ArrayList<>(); public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) { if(root == null) return ret; //System.out.print(root.val+" "); ret.add(root.val); preorderTraversal(root.left); preorderTraversal(root.right); return ret; } */ //子问题 /*public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) { List<Integer> ret = new ArrayList<>(); if(root == null) return ret; ret.add(root.val); List<Integer> leftTree = preorderTraversal(root.left); ret.addAll(leftTree); List<Integer> rightTree = preorderTraversal(root.right); ret.addAll(rightTree); return ret; }*/ // 中序遍历 public void inOrder(TreeNode root) { if(root == null) return; inOrder(root.left); System.out.print(root.val+" "); inOrder(root.right); } // 后序遍历 public void postOrder(TreeNode root) { if(root == null) return; postOrder(root.left); postOrder(root.right); System.out.print(root.val+" "); } public static int usedSize = 0; // 获取树中节点的个数 public int size(TreeNode root) { if(root == null) { return 0; } usedSize++; size(root.left); size(root.right); return usedSize; } public int size2(TreeNode root) { if(root == null) { return 0; } return size2(root.left) + size2(root.right) + 1; } public static int leafSize = 0; public int getLeafNodeCount(TreeNode root) { if(root == null) { return 0; } if(root.left == null && root.right == null) { leafSize++; } getLeafNodeCount(root.left); getLeafNodeCount(root.right); return leafSize; } public int getLeafNodeCount2(TreeNode root) { if(root == null) { return 0; } if(root.left == null && root.right == null) { return 1; } return getLeafNodeCount2(root.left) + getLeafNodeCount2(root.right); } }
下面主要分析前序递归遍历，中序与后序图解类似,可自己动手绘制:
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前序遍历结果：1 2 3 4 5 6
中序遍历结果：3 2 1 5 4 6
后序遍历结果：3 1 5 6 4 1
2.层序遍历
层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
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3.选择题
1.某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为()
A: ABDHECFG B: ABCDEFGH C: HDBEAFCG D: HDEBFGCA
2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为()
A: E B: F C: G D: H
3.设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为()
A: adbce B: decab C: debac D: abcde
4.某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出(同一层从左到右)的序列为()
A: FEDCBA B: CBAFED C: DEFCBA D: ABCDEF
【参考答案】 1.A 2.A 3.D 4.A
2.5.3二叉树的基本操作
package BinaryTree; import java.util.*; /** * @Author 12629 * @Description： */ public class BinaryTree { //树的节点-->静态内部类，不依赖外部类对象即可进行创建 static class TreeNode { //左右孩子和值 public char val; public TreeNode left; public TreeNode right; //构造方法 public TreeNode(char val) { this.val = val; } } //创建节点 public TreeNode createTree() { TreeNode A = new TreeNode('A'); TreeNode B = new TreeNode('B'); TreeNode C = new TreeNode('C'); TreeNode D = new TreeNode('D'); TreeNode E = new TreeNode('E'); TreeNode F = new TreeNode('F'); TreeNode G = new TreeNode('G'); TreeNode H = new TreeNode('H'); A.left = B; A.right = C; B.left = D; B.right = E; C.left = F; C.right = G; E.right = H; return A; } // 前序遍历 public void preOrder(TreeNode root) { //根左右 if(root == null) { return; } System.out.print(root.val+" "); preOrder(root.left); preOrder(root.right); } /* OJ返回值为List的解决方法： 第一种普遍思维：遍历思路 List<Integer> ret = new ArrayList<>(); public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) { if(root == null) return ret; //System.out.print(root.val+" "); ret.add(root.val); preorderTraversal(root.left); preorderTraversal(root.right); return ret; } */ //子问题 /*public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) { List<Integer> ret = new ArrayList<>(); if(root == null) return ret; ret.add(root.val); List<Integer> leftTree = preorderTraversal(root.left); ret.addAll(leftTree); List<Integer> rightTree = preorderTraversal(root.right); ret.addAll(rightTree); return ret; }*/ // 中序遍历 public void inOrder(TreeNode root) { if(root == null) return; inOrder(root.left); System.out.print(root.val+" "); inOrder(root.right); } // 后序遍历 public void postOrder(TreeNode root) { if(root == null) return; postOrder(root.left); postOrder(root.right); System.out.print(root.val+" "); } public static int usedSize = 0; // 获取树中节点的个数 public int size(TreeNode root) { if(root == null) { return 0; } usedSize++; size(root.left); size(root.right); return usedSize; } public int size2(TreeNode root) { if(root == null) { return 0; } return size2(root.left) + size2(root.right) + 1; } public static int leafSize = 0; //获取叶子节点个数 public int getLeafNodeCount(TreeNode root) { if(root == null) { return 0; } if(root.left == null && root.right == null) { leafSize++; } getLeafNodeCount(root.left); getLeafNodeCount(root.right); return leafSize; } public int getLeafNodeCount2(TreeNode root) { if(root == null) { return 0; } if(root.left == null && root.right == null) { return 1; } return getLeafNodeCount2(root.left) + getLeafNodeCount2(root.right); } //获取第K层元素的个数 public int getKLevelNodeCount(TreeNode root, int k) { if(root == null) { return 0; } if(k == 1) { return 1; } return getKLevelNodeCount(root.left,k-1) + getKLevelNodeCount(root.right,k-1); } /** * 时间复杂度：O(N) * @param root * @return */ //获取二叉树的高度 public int getHeight(TreeNode root) { if(root == null) { return 0; } int leftH = getHeight(root.left); int rightH = getHeight(root.right); return (leftH > rightH ? leftH :rightH) + 1; } public int getHeight2(TreeNode root) { if(root == null) { return 0; } return (getHeight2(root.left) > getHeight2(root.right) ? getHeight2(root.left) :getHeight2(root.right)) + 1; } //检测值为Val的元素是否存在 public TreeNode find(TreeNode root,int val) { if(root == null) return null; if(root.val == val) { return root; } TreeNode leftL = find(root.left,val); if(leftL != null) { return leftL; } TreeNode leftLR = find(root.right,val); if(leftLR != null) { return leftLR; } return null; } // 时间复杂度： O(min(m,n)) public boolean isSameTree(TreeNode p, TreeNode q) { if(p == null && q != null || p != null && q == null) { return false; } if(p == null && q == null) { return true; } //一定是p 和 q 都不等于空！ if(p.val != q.val) { return false; } return isSameTree(p.left,q.left) && isSameTree(p.right,q.right); } //时间复杂度：O(S*T) //每个s 都要和 t 判断是不是相同的！ public boolean isSubtree(TreeNode root, TreeNode subRoot) { if(root == null) { return false; } if(isSameTree(root,subRoot)) { return true; } if(isSubtree(root.left,subRoot)) { return true; } if(isSubtree(root.right,subRoot)) { return true; } return false; } public TreeNode invertTree(TreeNode root) { if(root == null) return null; TreeNode tmp = root.left; root.left = root.right; root.right = tmp; invertTree(root.left); invertTree(root.right); return root; } //时间复杂度： public boolean isBalanced(TreeNode root) { if(root == null) return true; int leftHight = getHeight(root.left); int rightHight = getHeight(root.right); return Math.abs(leftHight-rightHight) < 2 && isBalanced(root.left) && isBalanced(root.right); } //O(n) public boolean isBalanced1(TreeNode root) { if(root == null) return true; return maxDepth(root) >= 0; } public int maxDepth(TreeNode root) { if(root == null) { return 0; } int leftH = maxDepth(root.left); int rightH = maxDepth(root.right); if(leftH >= 0 && rightH >= 0 && Math.abs(leftH-rightH) <= 1) { return Math.max(leftH,rightH) + 1; }else { return -1; } } public boolean isSymmetric(TreeNode root) { if(root == null) return true; return isSymmetricChild(root.left,root.right); } public boolean isSymmetricChild(TreeNode leftTree,TreeNode rightTree) { if(leftTree == null && rightTree != null || leftTree != null && rightTree == null ) { return false; } if(leftTree == null && rightTree == null) { return true; } if(leftTree.val != rightTree.val) { return false; } return isSymmetricChild(leftTree.left,rightTree.right) && isSymmetricChild(leftTree.right,rightTree.left); } /** * 层序遍历！ * @param root */ //层序遍历 public void levelOrder(TreeNode root) { Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>(); if(root != null) { queue.offer(root); } while (!queue.isEmpty()) { TreeNode top = queue.poll(); System.out.print(top.val+" "); if(top.left != null) { queue.offer(top.left); } if(top.right != null) { queue.offer(top.right); } } } //子问题思路分析： /*public List<List<Integer>> levelOrder2(TreeNode root) { List<List<Integer>> ret = new ArrayList<>(); if(root == null) { return ret; } Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>(); queue.offer(root); while (!queue.isEmpty()) { int size = queue.size();//这一层节点的个数 List<Integer> list = new ArrayList<>(); while (size != 0) { TreeNode top = queue.poll(); //System.out.print(top.val+" "); list.add(top.val); if(top.left != null) { queue.offer(top.left); } if(top.right != null) { queue.offer(top.right); } size--; } ret.add(list); } return ret; }*/ //判断一棵树是否为完全二叉树 public boolean isCompleteTree(TreeNode root) { Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>(); if(root != null) { queue.offer(root); } while (!queue.isEmpty()) { TreeNode cur = queue.poll(); if(cur != null) { queue.offer(cur.left); queue.offer(cur.right); }else { break; } } while (!queue.isEmpty()) { TreeNode cur = queue.poll(); if(cur != null) { return false; } } return true; } public TreeNode lowestCommonAncestor2(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) { if(root == null) return null; Stack<TreeNode> s1 = new Stack<>(); getPath(root,p,s1); Stack<TreeNode> s2 = new Stack<>(); getPath(root,q,s2); int size1 = s1.size(); int size2 = s2.size(); if(size1 > size2) { int size = size1 - size2; while (size != 0) { s1.pop(); size--; } }else { int size = size2 - size1; while (size != 0) { s2.pop(); size--; } } //两个栈当中 的元素 是一样大小的 while (!s1.empty() && !s2.empty()) { TreeNode tmp1 = s1.pop(); TreeNode tmp2 = s2.pop(); if(tmp1 == tmp2) { return tmp1; } } return null; } /** * 在root这棵树当中 找到node这个节点上的位置 * @param root * @param node * @return */ public boolean getPath(TreeNode root, TreeNode node, Stack<TreeNode> stack) { if(root == null) { return false; } stack.push(root); if(root == node) { return true; } boolean ret = getPath(root.left,node,stack); if(ret == true) { return true; } boolean ret2 = getPath(root.right,node,stack); if(ret2 == true) { return true; } stack.pop(); return false; } public void preOrderNor(TreeNode root) { if(root == null) return; Stack<TreeNode> stack = new Stack<>(); TreeNode cur = root; while (cur != null || !stack.empty()) { while (cur != null) { stack.push(cur); System.out.print(cur.val + " "); cur = cur.left; } //cur == null TreeNode top = stack.pop(); cur = top.right; } } public void inOrderNor(TreeNode root) { if(root == null) return; Stack<TreeNode> stack = new Stack<>(); TreeNode cur = root; while (cur != null || !stack.empty()) { while (cur != null) { stack.push(cur); cur = cur.left; } //cur == null TreeNode top = stack.pop(); System.out.print(top.val + " "); cur = top.right; } } public void postOrderNor(TreeNode root) { if(root == null) return; Stack<TreeNode> stack = new Stack<>(); TreeNode cur = root; TreeNode prev= null; while (cur != null || !stack.empty()) { while (cur != null) { stack.push(cur); cur = cur.left; } //cur == null TreeNode top = stack.peek(); if(top.right == null || top.right == prev) { System.out.print(top.val+" "); prev = top;//记录下来当前的top已经被打印过了 stack.pop(); }else { cur = top.right; } } } } //代码测试 package BinaryTree; import java.util.Stack; /** * Created with IntelliJ IDEA * Description: * User:L * Date:2023-5-04 * Time:0:16 */ public class Test { public static void main(String[] args) { BinaryTree binaryTree = new BinaryTree(); BinaryTree.TreeNode root = binaryTree.createTree(); binaryTree.preOrder(root); System.out.println(); //非递归实现！ binaryTree.preOrderNor(root); System.out.println(); System.out.println("======================="); binaryTree.inOrder(root); System.out.println(); binaryTree.inOrderNor(root); System.out.println(); System.out.println("============上面是中序遍历==========="); binaryTree.postOrder(root); System.out.println(); binaryTree.postOrderNor(root); System.out.println(); System.out.println("============上面是后序遍历==========="); System.out.println("节点的个数: "); binaryTree.size(root); System.out.println(BinaryTree.usedSize); System.out.println("叶子节点的个数："); binaryTree.getLeafNodeCount(root); System.out.println(BinaryTree.leafSize); System.out.println("=========="); System.out.println(binaryTree.getLeafNodeCount2(root)); System.out.println("======第K层的节点个数========"); System.out.println(binaryTree.getKLevelNodeCount(root, 4)); System.out.println("======树的高度========"); System.out.println(binaryTree.getHeight(root)); System.out.println(binaryTree.getHeight2(root)); System.out.println("======查找========"); BinaryTree.TreeNode ret = binaryTree.find(root,'E'); System.out.println(ret.val); System.out.println("层序遍历："); binaryTree.levelOrder(root); System.out.println(); System.out.println("是否是完全二叉树："); System.out.println(binaryTree.isCompleteTree(root)); System.out.println("====获取路径===="); Stack<BinaryTree.TreeNode> stack = new Stack<>(); binaryTree.getPath(root,root.left.right,stack); } }
