💥1 概述
拆分布雷格曼方法（Split Bregman Method）是一种用于全变分去噪的迭代算法。它通过最小化经过全变差正则化的优化问题来实现去噪。以下是实施拆分布雷格曼方法进行全变差去噪的步骤如下：
1. 数据准备：将待去噪的图像表示为二维矩阵或张量形式。如果图像是彩色的，可以将其转换为灰度图像。
2. 定义目标函数：构建优化问题目标函数，将待去噪的图像的全变差作为正则化项。目标函数的形式可能因具体问题而异，但一般形式为最小化损失函数（例如均方差损失）和全变差正则化项之和。
3. 拆分变量：将图像分解为两个变量，通常记为u和v，其中u是去噪后的图像，v是对图像梯度的估计。
4. 迭代求解：使用拆分布雷格曼方法迭代求解优化问题。具体步骤如下：
a. 固定u，更新v：在保持u不变的情况下，根据当前v的值，通过解决子问题来更新v。这通常涉及到用梯度算子计算图像梯度，并应用软阈值来减少噪声。
b. 固定v，更新u：在保持v不变的情况下，根据当前u和v的值，通过解决子问题来更新u。这通常涉及到通过最小化目标函数来求解图像u的最优解。
c. 更新v：更新v的值，将其设置为当前图像u的梯度。
d. 迭代以上步骤，直到达到收敛条件。
5. 返回结果：在迭代收敛后，得到的最终图像u即为去噪后的结果。
通过拆分布雷格曼方法，可以实现全变差去噪，并获得去噪后的图像。该方法在图像处理和计算机视觉领域得到广泛应用，尤其对于去除噪声并保持图像细节的有效性很好。请注意，具体的算法细节和参数选择可能因具体问题而有所不同。
📚2 运行结果
部分代码：
function u = SB_ATV(g,mu) % Split Bregman Anisotropic Total Variation Denoising % % u = arg min_u 1/2||u-g||_2^2 + mu*ATV(u) % % g : noisy image % mu: regularisation parameter % u : denoised image % g = g(:); n = length(g); [B Bt BtB] = DiffOper(sqrt(n)); b = zeros(2*n,1); d = b; u = g; err = 1;k = 1; tol = 1e-3; lambda = 1; while err > tol fprintf('it. %g ',k); up = u; [u,~] = cgs(speye(n)+BtB, g-lambda*Bt*(b-d),1e-5,100); Bub = B*u+b; d = max(abs(Bub)-mu/lambda,0).*sign(Bub); b = Bub-d; err = norm(up-u)/norm(u); fprintf('err=%g \n',err); k = k+1; end fprintf('Stopped because norm(up-u)/norm(u) <= tol=%.1e\n',tol); end function [B Bt BtB] = DiffOper(N) D = spdiags([-ones(N,1) ones(N,1)], [0 1], N,N+1); D(:,1) = []; D(1,1) = 0; B = [ kron(speye(N),D) ; kron(D,speye(N)) ]; Bt = B'; BtB = Bt*B; end
🎉3 参考文献
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[1]Goldstein and Osher, The split Bregman method for L1 regularized problems
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[2]Micchelli et al, Proximity algorithms for image models: denoising
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[3]李潇瑶,王炼红,周怡聪等.自适应非局部3维全变分彩色图像去噪[J].中国图象图形学报,2022,27(12):3450-3460.
[4]赵鑫春,李碧原,张军.一种改进全变分的图像去噪算法模型[J].计算机辅助工程,2022,31(03):42-48+54.DOI:10.13340/j.cae.2022.03.008.
