矩阵分析 (五) 矩阵的分解

矩阵的对角分解

• 定理5.1A 为正规矩阵的充要条件是：存在酉矩阵Q ,使得：

1. A 是厄米特矩阵的充要条件是：A AA的特征值全是实数；
2. A 是反厄米特矩阵的充要条件是：A AA的特征值为零或纯虚数；
3. A 是酉矩阵的充要条件是：A AA的每个特征值λ i \lambda_{i}λi的模∣ λ i ∣ = 1
   

矩阵的三角分解

如果A 可以分解为A = L R，其中L 是对角线元素为1的下三角矩阵（称为单位下三角矩阵），R 为上三角矩阵，则称之为A 的Doolittle分解。

  如果A可以分解成A = L R ，R RR是对角线元素为1的上三角矩阵(称为单位上三角矩阵)，则称之为A 的Crout分解。

  如果A 可以分解成A = L D R A，其中L ， D ， R L，D，RL，D，R分别是单位下三角矩阵、对角矩阵、单位上三角矩阵，则称之为A 的LDR分解。

• 如果A ∈ C n × n 是正定的厄米特矩阵，则存在下三角矩阵G GG使得A = G G H ，称之为A 的Cholesky分解。

矩阵的满秩分解

  这一节讨论一种将矩阵分解为列满秩与行满秩矩阵的乘积。

舒尔定理与矩阵的QR分解

  舒尔(Schur)定理在理论上很重要，它是很多重要定理的出发点。而矩阵的Q R 分解在数值化代数中起着重要的作用，是计算矩阵特征值以及求解线性方程组的重要工具。

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