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题目: 多边形三角剖分的最低得分

题解:

这题是一道区间Dp问题,将一个多边形形划分为若干个三角形,求其最小的得分.

拿出我们传统分析Dp的方法,仍然是求以下几种属性.

那么这里的属性显而易见就是取最小Min.

集合呢?

区间Dp有一个很大的特点就是一个范围的最终状态.

例如这个例子[3,4,5,6,7,8]

其多边形长这样(顺时针)

那么,根据题目所给,一个n边形,可以划分出n-2个三角形.

那么继续往下推,一个n-1边形,可以划分出n-3个三角形

所以n最少为几呢?显然n至少为3,也就是一个三角形最多可以划分出1个三角形(废话)

那么如何表达从某个点到某个点的区间呢

dp[i][j]的含义就自然而然的引出来了,表示第i个与第j个角当中所组成三角形的最低得分

有点像回文子序列的遍历方式,也就是将最大的区间求出.但要求最大的区间,往往需要将小区间求出.

先列出其大概的框架

for(int i=n-3;i>=0;i--)
{
    for(int j=i+2;j<n;j++)
    {
    }
}

所以最开始的情况为这样的

到最后是这样的

也就是从小区间中向大区间递近.最后dp[0][n-1]即为所求答案.

那状态转义方程呢?

观察这样一个图形我们可以发现.当i为5 j为8时

我们再求的是蓝色线以下的最低得分.

那么其可以被切成两个三角形.

我们先来看看绿色线的情况,此时令7这个点叫做k,那么这个区间内的得分就为

dp[i][k]+a[i]*a[j]*a[k]+dp[j][k] 其中dp[j][k]不构成三角形为0,而dp[i][k]为之前所求

再来看看这个例子

当i指向3,j指向8时(也就是首尾),此时k表示切点为5

那么这时这个区间内得分就为,dp[i][k]+dp[k][j]+a[i]*a[k]*a[j], 而dp[i][k]与dp[k][j]之前算过了.

所以状态转移方程为:dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k][j]+a[i]*a[k]*a[j])

当然这里还有一个特殊情况,当i与j=0时,也就是还没被求时,其的值就为dp[i][k]+dp[k][j]+a[i]*a[k]*a[j]

所以

代码实现:

class Solution {
public:
    int minScoreTriangulation(vector<int>& values) {
        int n=values.size();
        vector<vector<int>>ans(n,vector<int>(n));
        for(int i=n-3;i>=0;i--)
        {
            for(int j=i+2;i+j<n;j++)
            {
                for(int k=i+1;k<j;k++)
                {
                    if(ans[i][j]==0)
                    {
                        ans[i][j]=ans[i][k]+ans[k][j]+values[i]*values[k]*values[j];
                    }
                    else ans[i][j]=min(ans[i][j],ans[i][k]+ans[k][j]+values[i]*values[k]*values[j]);
                }
            }
        }
        return ans[0][n-1];
    }
};

完结撒花：

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