考点：算法时间复杂度和空间复杂度的分析与计算

1、数据结构基本概念

1.1 概念和术语

数据是信息的载体，是描述客观事物属性的数、字符及所有能输入到计算机中并被计算机程序识别和处理的符号的集合。

数据元素是数据的基本单位，一个数据元素包含多个数据项。比如由姓名，学号组成的学生记录就是一个数据元素，其中学生或姓名则是数据项。

数据对象是具有相同性质的数据元素的集合，是数据的一个子集。例如整数数据对象是N={0, -1, 1, -2, 2, ...}

数据类型是一个值的集合和定义在此集合上的一组操作的总称

1. 原子类型。其值不可再分的数据类型。
2. 结构类型。其值可以再分解为若干成分(分量)的数据类型
3. 抽象数据类型。抽象数据组织及与之相关的操作

数据结构是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合

抽象数据类型（ADT）描述了数据的逻辑结构和抽象运算，通常用三元组（数据对象，数据关系，基本操作集）表示，从而构成完整的数据结构定义。

1.2 数据结构三要素

1.2.1 逻辑结构

数据的逻辑结构指数据元素之间的逻辑关系，即从逻辑关系上描述数据。逻辑结构图如下所示：

有序表：关键字有序的线性表，仅描述元素之间的逻辑关系，可以链式存储和顺序存储。

1.2.2 存储结构

存储结构是指数据结构在计算机中的表示(又称映像)，也称物理结构。它包括数据元素的表示和关系的表示。数据的存储结构是用计算机语言实现的逻辑结构，它依赖于计算机语言。 数据的存储结构主要有顺序存储、链式存储、索引存储和散列存储（这些存储方式在后面的章节都会总结）

链式存储时，结点的存储空间可以不连续，但是结点内的存储单元地址必须连续。

邻接表属于存储结构

1.2.3 数据的运算

施加在数据上的运算，包括运算的定义（针对逻辑结构，指出运算的功能）和实现（针对存储结构）。

1.2.4 总结

1. 逻辑结构可以独立于存储结构而存在，但是存储结构不能独立于逻辑结构存在。
2. 数据结构由三要素决定，缺一不可。

2 时间复杂度和空间复杂度（重点）

算法的效率通过时间复杂度和空间复杂度进行度量。

2.1 时间复杂度（重点）

时间复杂度指的是所有语句的频度之和，记为T(n)，我们主要关注它的数量级 而在一段程序中，基本运算的频度与T(n)一致，则我们可以通过基本运算的频度来找到时间复杂度。即

这里O指的是取数量级，常见复杂度大小关系为

时间复杂度分为最坏时间复杂度、平均时间复杂度、最好时间复杂度

1. 最坏时间复杂度，指在最坏情况下，算法的时间复杂度
2. 平均时间复杂度，指所有可能输入实例在等概率出现的情况下，算法的期望运行时间。
3. 最好时间复杂度，指在最好情况下，算法的时间复杂度。

例如在给定数组A[0, ..., n-1]中寻找数字k

i = n - 1;
while(i >= 0 & (A[i] != k))
    1--;
return i;

1. 如果数组A中没有与k相等的元素，则语句3的频度f(n)=n（最坏时间复杂度）
2. 如果数组A中最后一个元素是k，则语句3的频度f(n)=0（最好时间复杂度）

分析一个程序的时间复杂度时，通常采用加法规则和乘法规则

1. 加法规则

1. 乘法规则

2.2 空间复杂度

算法的空间复杂度S(n)定义为该算法所耗费的存储空间，同样也是n的函数：

一个程序在执行时除需要存储空间来存放本身所用的指令、常数、变量和输入数据外，还需要一些对数据进行操作的工作单元和存储一些为实现计算所需信息的辅助空间。若输入数据所占空间只取决于问题本身，和算法无关，则只需分析除输入和程序之外的额外空间。

算法原地工作是指算法所需的辅助空间为常量，即 O(1)。