分治算法详解(Divide and Conquer)

一、简单释义

1、分治算法

 字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题拆分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。

2、算法目的

 通过将直接得到结果非常困难的事情，不断拆分子问题，执行起来容易且简单。

3、算法思想

 将一个大的任务拆分成若干个小的任务逐个解决来完成拆分之前总任务的效果。

二、核心思想

分–将问题分解为规模更小的子问题；

治–将这些规模更小的子问题逐个击破；

合–将已解决的子问题合并，最终得出“母”问题的解；

三、图形展示

 要查找2所在的位置，首先将原始数组折中缩小范围，找打了5和我们要查找的值不一致，然后在判断我们要查找的值是大于5还是小于5。如果是大于5则往后面查找，反之往前面找。2比5小所以我们就需要往前面找。然后我们将5前面的元素继续折中，找到了1(向下取整)。以此类推在进行比较。最后剩下2和3了在折中就找到2了。最终2在数组中下标为2的位置上，查找了3次。

四、代码实现

/**
 * @BelongsProject: demo
 * @BelongsPackage: com.wzl.Algorithm.Partition
 * @Author: Wuzilong
 * @Description: 分治算法
 * @CreateTime: 2023-04-26 09:27
 * @Version: 1.0
 */
public class Client {
    public static int rank(int value,int[] numberArr,int start,int end){
        if(start >end){
            return -1;
        }
        int key=start+(end-start)/2;
        if(value<numberArr[key]){
            return rank(value,numberArr,start,key-1);
        }else if(value>numberArr[key]){
            return rank(value,numberArr,key+1,end);
        }else{
            return key;
        }
    }
    public static void main(String[] args) {
        int numberArr[]={0,1,2,3,5,6,7,8,9};
        System.out.println("元素所在的位置是"+rank(2,numberArr,0,numberArr.length-1));
    }
}

运行结果

五、算法描述

1、问题描述

 给定一个n个元素的数组，数组下标从0开始，采用分治法获取数组中的某个元素的下标。

2、算法过程

整个算法过程分为以下几步：

 1）对数据进行折中处理，获取折中元素：数组的长度-1(数组最大值的下标)/2

 2）判断折中元素与我们要获取的值得关系：等于直接返回 大于向前继续折中查找 小于向后继续折中查找 以此类推。

 3）折中不为0需要向下取整：例如5/2=2.5 则取下标为2的元素为折中元素

六、算法分析

1、时间复杂度

 假使总共有n个元素，那么二分后每次查找的区间大小就是n，n/2，n/4，…，n/2^k（接下来操作元素的剩余个数），其中k就是递归的次数。

 最坏的情况下是K次二分之后,每个区间的大小为1,找到想要的元素令n/2^k=1，可得k=log2n,（是以2为底，n的对数），所以时间复杂度可以表示O()=O(logn).

 最好的情况下是第一次就找到了，所以时间复杂度为O(1)

2、空间复杂度

 算法的空间复杂度并不是计算实际占用的空间，而是计算整个算法的辅助空间单元的个数由于辅助空间是常数级别的，所以空间复杂度是O(1)。