1 理论基础
TSP(traveling salesman problem,旅行商问题)是典型的NP完全问题，即其最坏情况下的时间复杂度随着问题规模的增大按指数方式增长，到目前为止还未找到一个多项式时间的有效算法。
TSP问题可描述为：已知n个城市相互之间的距离，某一旅行商从某个城市出发访问每个城市一次且仅一次，最后回到出发城市，如何安排才使其所走路线最短。简言之，就是寻找一条最短的遍历n个城市的路径，或者说搜索自然子集X={1,2,…,n}(X的元素表示对n个城市的编号)的一个排列π(X)={V1,V2,…,Vn},使
取最小值，其中d(Vi,Vi+1)表示城市Vi到城市Vi+1的距离。
TSP问题并不仅仅是旅行商问题，其他许多的NP完全问题也可以归结为TSP问题，如邮路问题、装配线上的螺母问题和产品的生产安排问题等，使得TSP问题的有效求解具有重要的意义。
2 案例背景
2.1 问题描述
本案例以14个城市为例，假定14个城市的位置坐标如表4-1所列。寻找出一条最短的遍历14个城市的路径。
2.2 解决思路及步骤
1.算法流程
遗传算法TSP问题的流程图如图4-1所示。
2.遗传算法实现
(1)编 码
采用整数排列编码方法。对于n个城市的TSP问题，染色体分为n段，其中每一段为对应城市的编号，如对10个城市的TSP问题{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},则|1|10|2|4|5|6|8|7|9|3就是一个合法的染色体。
(2)种群初始化
在完成染色体编码以后，必须产生一个初始种群作为起始解，所以首先需要决定初始化种群的数目。初始化种群的数目一般根据经验得到，一般情况下种群的数量视城市规模的大小而确定，其取值在50～200之间浮动。
(3)适应度函数
设k1|k2I…|ki|…|kn|为一个采用整数编码的染色体，Dkikj为城市ki到城市kj的距离，则该个体的适应度为
即适应度函数为恰好走遍n个城市，再回到出发城市的距离的倒数。优化的目标就是选择适
应度函数值尽可能大的染色体，适应度函数值越大的染色体越优质，反之越劣质。
(4)选择操作
选择操作即从旧群体中以一定概率选择个体到新群体中，个体被选中的概率跟适应度值有关，个体适应度值越大，被选中的概率越大。
(5)交叉操作
采用部分映射杂交，确定交叉操作的父代，将父代样本两两分组，每组重复以下过程(假定城市数为10):
①产生两个[1,10]区间内的随机整数r1和r2,确定两个位置，对两位置的中间数据进行交叉，如r1=4,r2=7
②交叉后，同一个个体中有重复的城市编号，不重复的数字保留，有冲突的数字(带*位置)采用部分映射的方法消除冲突，即利用中间段的对应关系进行映射。结果为
(6)变异操作
变异策略采取随机选取两个点，将其对换位置。产生两个[1,10]范围内的随机整数r1和 r2,确定两个位置，将其对换位置，如r1=4,r2=7
(7)进化逆转操作
为改善遗传算法的局部搜索能力，在选择、交叉、变异之后引进连续多次的进化逆转操作。这里的“进化”是指逆转算子的单方向性，即只有经逆转后，适应度值有提高的才接受下来，否则逆转无效。产生两个[1,10]区间内的随机整数r1和r2,确定两个位置，将其对换位置，如r1=4, r2=7
对每个个体进行交叉变异，然后代入适应度函数进行评估，x选择出适应值大的个体进行下一代的交叉和变异以及进化逆转操作。循环操作：判断是否满足设定的最大遗传代数MAXGEN,不满足则跳入适应度值的计算；否则，结束遗传操作。
3 MATLAB程序实现
完整代码可以从下面的链接中获取
4 结果分析
优化前的一个随机路线轨迹图如图4-2所示。
图4-2 随机路线
优化后的路线如图4-3所示：
图4-3 优化后的线路
迭代过程如图4-4所示：
图4-4 迭代过程
5 延伸阅读
5.1 应用扩展
以下问题都与TSP问题一致，都可以使用上述方法解决。
1.装配线上的螺母问题
在一条装配线上用一个机械手去紧固待装配部件上的螺母问题。机械手由其初始位置(该位置在第一个要紧固的螺母的上方)开始，依次移动到其余的每一个螺母，最后返回到初始位置。机械手移动的路线就是以螺母为结点的一条周游路线。一条最小成本周游路线将使机械手完成工作所用的时间取最小值。注意：只有机械手移动的时间总量是可变化的。
2.产品的生产安排问题
假设要在同一组机器上制造n种不同的产品，生产是周期性进行的，即在每一个生产周期
这n种产品都要被制造。要生产这些产品有两种开销，一种是制造第i种产品时所耗费的资
金(1≤i≤n),称为生产成本；另一种是这些机器由制造第i种产品变到制造第j种产品时所
耗费的开支C;,称为转换成本。显然，生产成本与生产顺序无关。于是，希望找到一种制造这
些产品的顺序，使得制造这n种产品的转换成本和为最小。
5.2 遗传算法的改进
上述程序中，对遗传算法做了以下两处改进。
1.使用精英策略
子代种群中的最优个体永远不会比父代最优的个体差，这样使得父代的好的个体不至于
由于交叉或者变异操作而丢失。
2.使用进化逆转操作
在本文的编码中，每一个染色体即对应一个TSP环游，如果染色体码串的顺序发生变化，则环游路径也随之改变。因此，TSP问题解的关键地方就是码串的顺序。对照文中的交叉算子，可以发现，纵使两个亲代完全相同，通过交叉，仍然会产生不同于亲代的子代，且子代的码串排列顺序与亲代有较大的差异。交叉算子的这种变异效果所起的作用有两个方面，一方面它能起到维持群体内一定的多样性的作用，避免陷入局部最优解；但是另一方面，它却不利于子代继承亲代的较多信息，特别是当进化过程进入到后期，群体空间中充斥着大量的高适应度个体，交叉操作对亲代的较优基因破坏很大，使子代难以继承到亲代的优良基因，从而使交叉算子的搜索能力大大降低。
同交叉算子相比较，逆转算子能使子代继承亲代的较多信息。假设码串为123456789,在2和3,6和7之间发生两处断裂再逆转插入，则新码串为12-6543-789,此时子代中12段、6543段、789段与亲代对应片段顺序完全一样(6543与3456顺序对于环游路径长度来说是等价的),只是在断裂点的两端环游次序发生了变化，而且本文中逆转是单方向的，即只接受朝着好的方向的逆转，因此它搜索最优解的能力强于交叉算子。
5.3 算法的局限性
针对问题规模n比较小时，得到的一般都是最优解；当规模比较大时，一般只能得到的近似解。这时可以通过增大种群大小和增加最大遗传代数使得优化值更接近最优解。
