离散数学_十章-图 ( 1 )：图的相关定义

图是一种非线性的数据结构，也是由顶点和连接顶点的边构成的离散结构

根据图中的边是否有方向、相同顶点对之间是否可以有多条边相连以及是否允许存在自环，图可以分为多种不同的类型。

通过运用各种图模型，图可以用来建模应用问题

本章将介绍图论的基本概念，还将给出许多不同的图模型。为了求解能够用图研究的多种问题，我们将介绍许多不同的图的算法，还将研究这些算法的复杂度。

1. 图的定义

图 G = (V , E) 由 顶点（或结点）的非空集V 和 边集E 构成，每条边有一个或两个顶点与它相连，这样的顶点称为边的端点。边连接它的端点。

顶点集比边集更重要，在图中加一条边，需要加的顶点数：0或1或2

顶点集：Vertex Set 👉 V

边集：Edge Set 👉 E

2. 有限图 和 无限图

顶点集V 为无限集或有无限条边的图称为无限图

顶点集和边集都为有限集的图称为有限图

// 我们目前只考虑有限图

3. 多重边、多重图

一个计算机网络可能在两个数据中心之间有多重链接，如图2所示。

为这样的网络建模，需要有多条边连接同一对顶点的图。

→ 存在多重边连接同―对顶点的图称为多重图。

当有m条不同的边与相同的无序顶点对相关联时，我们也说 {u，v} 是一条多重度为m的边。可以认为这个边集是边 {u，v} 的m个不同副本。

注： {u，v} 中的 u 和 v 表示的是两个顶点；{u，v}表示的是这两点间的边

通俗来说，多重图就是存在某两点间有不止一条边的图

4. 简单图 和 伪图

简单图

每条边都连接两个不同的顶点 且 没有两条不同的边连接一对相同顶点的图称为简单图。

通俗来说，简单图即：没有自回路、没有多重边的图

或者说 不是伪图的图是简单图

伪图

包含环或存在多重边连接同一对顶点或同一个顶点的图，称为伪图

注：在简单图中，每条边都与一对无序的顶点相关联，而且没有其他的边和这条边相关联。因此，在简单图中，当有一条边与{u，v}相关联时，也可以说{u，v}是该图的一条边，这不会产生误解。

5. 有向图 、无向图 、混合图

无向图：所有边都没有方向的图。如上面的图2

有向图：所有边都有方向的图。有向图的边也叫箭弧。

混合图：既包含有向边又包含无向边的图。

有向图 (V , E) 由一个非空顶点集V和一个有向边(或弧)集E组成。

每条有向边与一个顶点有序对（代表起点、终点）相关联。我们称与有序对(u，v)相关联的有向边开始于u，结束于v

5.1 简单有向图

当对一个无向图的每一条边都赋予方向后，就得到了一个有向图。

当一个有向图不包含环和多重有向边时，就称为简单有向图。因为在简单有向图中，每个顶点有序对(u，u)之间最多有一条边和它们相连，如果在图中，(u，v)之间存在一条边，则称(u，v)为边

5.2 多重有向边 → 有向多重图

在某些计算机网络中，两个数据中心之间可能有多重的通信链路，如图5所示。

可以用包含从一个顶点指向第二个 (也许是同一个) 顶点的多重有向边的有向图来对这样的网络建模，我们称这样的图为有向多重图。当m条有向边中的每一条都与顶点有序对(u，v)相关联时，我们称(u，v)是一条多重度为m的边

表1 图术语