1、闭包(closure)的定义
包含一些给定对象，具有指定性质的最小集合
定义： 设R是集合 A 上的关系，若存在关系 R 的具有性质 P 的闭包，则此闭包是集合 A 上包含R的具有性质 P 的关系 S，并且 S 是每一个包含R的具有性质 P 的 A×A 的子集
❗ 简单来说，求 R 的具有性质P的闭包就是把R 与满足性质 P 的关系的集合取并（∪）
2、不同类型的闭包
1. 自反闭包(reflexive closure)
自反闭包： 包含给定关系R的最小自反关系，称为R的自反闭包。记作 r ( R )
(1) R ⊆ r( R )
(2) r( R )是自反的
(3) ∀S( (R⊆S ∧ S自反) → r( R )⊆S )
！ 加上自己到自己的环
📘例：
整数集上的关系R={ (a，b) l a < b } 的自反闭包是什么？
解：
R的自反闭包是 { (a,b) l a < b } U { (a,a) l a∈Z } = { (a,b) l a ≤ b }
2. 对称闭包(symmetric closure)
对称闭包： 包含给定关系R的最小对称关系，称为R的对称闭包。记作s( R )
(1) R ⊆ s( R )
(2) s( R )是对称的
(3) ∀S( (R⊆S ∧ S对称) → s( R )⊆S )
！ 每条边有回路
3. 传递闭包(transitive closure)
传递闭包： 包含给定关系R的最小传递关系，称为R的传递闭包。记作t( R )
(1) R ⊆ t( R )
(2) t ( R )是传递的
(3) ∀S( (R⊆S ∧ S传递) → t( R )⊆S )
