学习笔记： 线性代数-向量的点乘的意义

1、向量的点乘的意义:

解决不同方向向量间存在的方向问题，不同方向的向量直接乘运算是没有意义的。通过投影的方式，让向量间指向同一方向，向量相乘起来才有了意义。向量的点乘结果为一个标量，向量点乘亦称为向量的内积。

在二维空间中，向量的内积有：$\vec {u} · \vec {v}=\|\vec {u}\|·(\|\vec {v}\|·cos\theta)$

2、向量点乘在分类上的反映

向量的点乘结果反映在分量上是向量间同属性分量的乘积的和，如$\vec {u} · \vec {v}=x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$，其中$x_1 \cdot x_2$与$y_1 \cdot y_2$分别是两向量$\vec {u} ，\vec {v}$在参考坐标系的基向量上的投影的乘积，当基向量互相垂直的情况下，两向量的不同属性的分量(如$x_1 \cdot y_y$)的相乘是无意义的，分量间的夹角$\theta = 90^{\circ}$，所以不同属分量乘积是0。

3、向量点乘的应用

主要用来计算向量间的夹角$\theta$ ：$cos\theta=\frac {\vec u \cdot \vec v} {\|\vec u\| \cdot \|\vec v\|}$

向量夹角$\theta$ 可以用来衡量两个向量的相似程度(余弦相似度的应用)
[$\theta < 90^\circ 相似 ; \theta = 90^\circ 无关 ; \theta > 90^\circ 背离$]
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