1.树概念及结构

1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因 为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

补充：

有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点。除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。因此，树是递归定义的。

1.2 树的相关概念

温馨提示：标红的重点学习哦！！！

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点（亲兄弟）； 如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6

树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；（后面学习的并查集就是一颗森林）

我们必须了解这些概念，因为我们后面做题会问怎么求这些。比如：求二叉树的深度

1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间 的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

代码表示

画图表示

2.二叉树概念及结构

2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合：

1. 或者为空

2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

图来！！！

从上图可以看出：

  1. 二叉树不存在度大于2的结点

  2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

2.2 特殊的二叉树

   满二叉树和完全二叉树介绍

2.3 二叉树的性质

2.4 简单二叉树题目练习

2.4.1

运用性质3秒解

2.4.2

我们观察这个完全二叉树，可以得出二叉树最多存在三个度，度为0、1、2。而且度为1的只可能有两个取值0或1

这时我们可以利用性质3，将n2用n0表示，这样就可以算出叶子节点个数（也就是度为0的节点个数）

2.4.3

高度为h的完全二叉树节点范围是多少呢？

最小值：当第h层只有一个节点的时候（为什么要有一个节点呢，因为题目说的是完全二叉树，如果第h层没有节点的话就是h-1层的满二叉树了）

2.4.4

2.5 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

2.5.1 顺序存储——堆

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

顺序存储逻辑图

顺序存储结构只适用于完全二叉树和满二叉树，用数组的方式存储，可以计算父子之间的下标关系

不是完全二叉树和满二叉树，就会出现下面的问题，有空间的浪费（不适合），下面的链式存储结构更适合这种二叉树

2.5.2 链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所 在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

二叉链和三叉链

本文的二叉树顺序存储（堆）和链式存储先简单带入一下概念，后面会专门讲解以下内容：

堆的概念及结构、堆的实现、堆排序、TOP-K问题

二叉树的链式结构实现

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