【二叉树】

简介: 【二叉树】

二叉树是一种树形结构,其特点是每个节点最多只能有两棵子树,且有左右之分。二叉树中不存在度大于2的结点。许多实际问题抽象出来的数据结构往往是二叉树形式,即使是一般的树也能简单地转换为二叉树,而且二叉树的存储结构及其算法都较为简单,因此二叉树显得特别重要。二叉树的应用很广泛,如用来实现二叉查找树和二叉堆,还可以用来实现哈夫曼树、AVL树、红黑树等等。


二叉树的节点最多只能有两棵子树,因此,二叉树有以下几种形态:


  • 空二叉树:即不包含任何节点的二叉树。


  • 只有一个根节点的二叉树。


  • 左子树为空的二叉树。


  • 右子树为空的二叉树。


  • 左右子树均不为空的二叉树。


二叉树的节点度数有三种情况:


  • 度为0的节点称为叶子节点。


  • 度为1的节点称为单分支节点。


  • 度为2的节点称为双分支节点。


二叉树还有以下特殊的形式:


  • 完全二叉树:若设二叉树的深度为h,除第h层外,其它各层 (1~h-1) 的结点数都达到最大个数,第h层所有的结点都连续集中在最左边。


  • 平衡二叉树:要求对于每一个节点来说,它的左右子树的高度之差不能超过1,如果插入或者删除一个节点使得高度之差大于1,就要进行节点之间的旋转,将二叉树重新维持在一个平衡状态。这个方案很好的解决了二叉查找树退化成链表的问题,把插入,查找,删除的时间复杂度最好情况和最坏情况都维持在O(logN)。但是频繁旋转会使插入和删除牺牲掉O(logN)左右的时间,不过相对二叉查找树来说,时间上稳定了很多。


前序遍历中序遍历和后序遍历


在二叉树的遍历过程中,有三种遍历方式:前序遍历、中序遍历和后序遍历。它们的命名规则是基于遍历根节点、左子树和右子树的顺序。具体而言,D、L、R分别代表遍历根节点、遍历左子树和遍历右子树。因此,二叉树的遍历方式有6种:DLR、DRL、LDR、LRD、RDL和RLD。其中,前序遍历指的是先遍历根节点,再遍历左子树,最后遍历右子树;中序遍历指的是先遍历左子树,再遍历根节点,最后遍历右子树;后序遍历指的是先遍历左子树,再遍历右子树,最后遍历根节点。


以下是关于二叉树遍历的一些细节和应用:


  • 在前序遍历中,第一个访问的节点是根节点;在中序遍历中,根节点在左子树和右子树之间;在后序遍历中,根节点为最后一个被访问的节点。


  • 通过前序遍历和中序遍历的结果可以唯一确定一棵二叉树。假设前序遍历结果为DLR,中序遍历结果为LDR,那么可以根据DLR中的第一个节点D找到根节点,然后在LDR中找到D的位置,左边的节点就是左子树,右边的节点就是右子树。这个过程可以通过递归来完成。


  • 通过中序遍历和后序遍历的结果也可以唯一确定一棵二叉树。假设中序遍历结果为LDR,后序遍历结果为LRD,那么可以根据LRD中的最后一个节点D找到根节点,然后在LDR中找到D的位置,左边的节点就是左子树,右边的节点就是右子树。这个过程也可以通过递归来完成。


  • 前序遍历和后序遍历的结果不能唯一确定一棵二叉树。例如,对于前序遍历结果为ABCD和后序遍历结果为DCBA的二叉树,可以构造出多棵不同的二叉树。


  • 在实际应用中,常常需要对一棵二叉树进行遍历来完成某些操作。例如,可以通过前序遍历来复制一棵二叉树,通过中序遍历来查找二叉搜索树中的某个节点,通过后序遍历来计算二叉表达式树的值。


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