一、题目
1、原题链接
4700. 何以包邮？ - AcWing题库
2、题目描述
新学期伊始，适逢顿顿书城有购书满 x 元包邮的活动，小 P 同学欣然前往准备买些参考书。
一番浏览后，小 P 初步筛选出 n 本书加入购物车中，其中第 i本（1≤i≤n）的价格为 ai元。
考虑到预算有限，在最终付款前小 P 决定再从购物车中删去几本书（也可以不删），使得剩余图书的价格总和 m 在满足包邮条件（m≥x）的前提下最小。
试帮助小 P 计算，最终选购哪些书可以在凑够 x 元包邮的前提下花费最小？
输入格式
输入的第一行包含空格分隔的两个正整数 n 和 x，分别表示购物车中图书数量和包邮条件。
接下来输入 n 行，其中第 i 行（1≤i≤n）仅包含一个正整数 ai，表示购物车中第 i 本书的价格。
输入数据保证 n 本书的价格总和不小于 x。
输出格式
仅输出一个正整数，表示在满足包邮条件下的最小花费。
数据范围
70% 的测试数据满足：n≤15；
全部的测试数据满足：n≤30，每本书的价格 ai≤10^4 且 x≤a1+a2+⋯+an。
输入样例1：
4 100
20
90
60
60
输出样例1：
110
样例1解释
购买前两本书 (20+90) 即可包邮且花费最小。
输入样例2：
3 30
15
40
30
输出样例2：
30
样例2解释
仅购买第三本书恰好可以满足包邮条件。
输入样例3：
2 90
50
50
输出样例3：
100
样例3解释
必须全部购买才能包邮。
二、解题报告
思路来源：AcWing 4700. 何以包邮？（寒假每日一题2023） - AcWing
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1、思路分析
暴力解法1（二进制搜索）
1）总共有n本书，每本书都有两种选择，删或者不删即0或1来代表，可以用长度为n位的二进制数来表示所有的情况数即2^n种情况。
2）所以可以枚举长度为n的每个二进制数，针对每个二进制数，依次判断第i位的情况，如果为1，则总和加上第i本书的价格，否则不操作，直到判断完第n位。
3）针对n种情况，选出其中满足条件的最小值输出，即为所求。
暴力解法2（dfs）
动规解法
1）该问题相当于从购物车中的书中去掉几本，而且去掉书的总价格要超过购物车中原来全部书的总价格(sum)减去x，即确保去掉书之后总价格还大于x，并且要求去掉书的价格在这个条件之下越大越好。
2）该问题就可以转化为一个背包问题，即从n件物品中选择几件来放入容量为sum-x的背包中，使背包价值越大越好，而针对本题，物品为书，而书的重量和价值均为书的价格，背包容量则为可以删掉的书的总价格。
3）按照0-1背包问题进行模拟即可，最终可以求得可删除的书的最大总价格，用购物车中原来全部书的总价格减去可删除书的最大总价格，得到的便是满足包邮条件的最小花费，输出结果，即为所求。
2、时间复杂度
暴力解法时间复杂度O(n2^n)
动规解法时间复杂度O(n^2)
3、代码详解
暴力代码1
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int a[35];
int main()
{ int n,x;
cin>>n>>x;
for(int i=0;i<n;i++){
cin>>a[i];
}
int res=1e8;
for(int i=0;i<1<<n;i++){
int sum=0;
for(int j=0;j<n;j++){
if(i>>j&1==1){
sum+=a[j];
}
}
if(sum>=x)
res=min(res,sum);
}
cout<<res;
return 0;
}
暴力代码2
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int a[35];
int n,x;
int res=1e8;
void dfs(int u,int sum){
if(u==n){
if(sum>=x) res=min(res,sum);
}
else{
dfs(u+1,sum);
dfs(u+1,sum+a[u]);
}
}
int main()
{ cin>>n>>x;
for(int i=0;i<n;i++){
cin>>a[i];
}
dfs(0,0);
cout<<res;
return 0;
}
动规代码
#include <iostream>
using namespace std;
int dp[300010];
int a[35];
int main()
{ int n,x;
cin>>n>>x;
int sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
sum+=a[i];
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=sum-x;j>=a[i];j--){
dp[j]=max(dp[j],dp[j-a[i]]+a[i]);
}
}
cout<<sum-dp[sum-x];
return 0;
}
三、知识风暴
0-1背包问题
可以参考我的下面这篇博客：
【AcWing】AcWing 2. 01背包问题_万里悲秋常作客，百年多病独登台.的博客-CSDN博客
