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如何衡量一个算法的好与坏呢？这是本篇的重点内容吗，博主将为你介绍判断算法好坏的方法以及几道经典例题。
【思维导图】
1.算法效率
1.1 如何衡量一个算法的好坏？
如何衡量一个算法的好坏呢？比如对于以下斐波那契数列：
int fib(int N) { if(N<3) return 1; else return Fib(N-1)+Fib(N-2); }
斐波那契数列的递归实现方式非常简洁，但简洁一定好吗？那该如何衡量其好与坏呢？
1.2 算法的复杂度
算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间.在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度.
2.时间复杂度
2.1 时间复杂度的概念
时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。
所以：
***找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度***
请计算一下Func中++a语句总共执行了多少次 void Func1(int n) { int a = 0; for (int i = 0; i < n ; ++ i) { for (int j = 0; j < n ; ++ j) { ++a; } } for (int k = 0; k < 2 * n ; ++ k) { ++a; } int m = 10; while (m--) { ++a; }
我们很容易就能看出来func的执行次数为
Func()=n^2+2*n+10;
实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。
2.2 大O的渐进表示法
使用大O阶方法规则：
- 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
- 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶
- 用常数1取代运行时间中的所有加法常数（O（1））
大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最好情况：运行次数最少
平均情况：也就是期望运行次数
最坏情况：运行次数最多的
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况
2.3 常见时间复杂度计算案例
案例1：func1
计算Func的时间复杂度？ void func1(int N, int M) { int count = 0; for (int k = 0; k < M; ++ k) { ++count; } for (int k = 0; k < N ; ++ k) { ++count; }
时间复杂度为O(N+M)
案例2：func2
void func2(int n, int m) { int count = 0; int i, j; for (i = 0; i < n; i++) { for (j = 0; j < m; j++) { count++; } } }
时间复杂度为O(n*m)
案例3：func3
void func3() { int count = 0; int i, j; for (i = 0; i <100; i++) { count++; } }
时间复杂度为O(1);
案例4：strchr
// 计算strchr的时间复杂度？ strchr查找字符串中的字符 const char * strchr ( const char * str, int character ); 取决于要查找的字符，最坏的情况下就是最后一个才查到那时间复杂度就为
时间复杂度就为O(n)
案例5：BubbleSort
void BubbleSort(int* arr, int n) { int i = 0; int exchange = 0; for (i = 0; i < n - 1; i++) { int j = 0; for (j = i; j < n - i - 1; j++) { if (arr[i > arr[i + 1]]) { int tmp = arr[i]; arr[i] = arr[i + 1]; arr[i + 1] = tmp; exchange = 1; } } if (exchange == 0) break; } } 最坏的情况就是n个数字是无序的 第一个数字进行冒泡排序需要比较n-1次 第二个数字进行冒泡排序需要比较n-2次 第三个数字进行冒泡排序需要比较n-3次………… 也就是n个数字总需要比n^2-n(n+1)/2==n(n-1)/2次 所以在n^2这个量级
所以时间复杂度为O(n^2)
案例6：BinarySearch
int begin = 0; int end = n-1; // [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号 while (begin <= end) { int mid = begin + ((end-begin)>>1); if (a[mid] < x) begin = mid+1; else if (a[mid] > x) end = mid-1; else return mid; } return -1; 二分查找也叫折半查找，每次查找中间的一个 而最坏的情况就是缩放到就剩一个数字的时候 设有查找x次，则2^x=n 所以x=logn；
所以时间复杂度为O(logn)
案例7：阶乘递归Fac
int Fac(int n) { if (n == 1 || n == 0) return 1; else return Fac(n - 1) * n; } 到n=1或者n=0时，才能知道是多少 所以最坏的情况就是调用n次
时间复杂度为O(n)
案例8：斐波那契数列递归Fib
int Fib(int n) { if (n < 3) return 1; return Fib(n - 1) + Fib(n - 2); } 注意Fib（n）返回两个函数Fib（n-1）和fib(n-2) 而fib（n-1）又能返回两个函数fib(n-2)和fib(n-3) 也就是一个fib函数能返回调用两个 也就是 fib fib fib fib fib fib fib ………… ………… fib(1) fib(2) 所以最后执行的次数是2的n次方。
时间复杂度为O(2^n)
3.空间复杂度
空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中==临时占用存储空间大小的量度 ==。
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。
空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
3.1 注意：
函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。
3.2 案例1:BubbleSort
计算BubbleSort的空间复杂度？ void BubbleSort(int* arr, int n) { int i = 0; int exchange = 0; for (i = 0; i < n - 1; i++) { int j = 0; for (j = i; j < n - i - 1; j++) { if (arr[i > arr[i + 1]]) { int tmp = arr[i]; arr[i] = arr[i + 1]; arr[i + 1] = tmp; exchange = 1; } } if (exchange == 0) break; } }
答案：使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)
3.3 案例2：阶乘递归Fac
计算阶乘递归Fac的空间复杂度？ int Fac(int n) { if (n == 1 || n == 0) return 1; else return Fac(n - 1) * n; }
答案：递归调用了n次，开辟了n个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间，空间复杂度为O(n);
4.复杂度练习
4.1 消失的数字
消失的数字
方法1：排序+二分查找
方法2：根据异或特点
方法3：利用公式计算
我们就讲解方法2和3
方法2：
我们知道按位异或的特点：相同为0，相异为1
相同的数字异或为0.
所以我们可以将该数组数字全部异或，然后再和0~n数字全部异或，最后得到的结果就是缺的。
因为除了缺的数字，其他数字都是成对出现。
int missingNumber(int* nums, int numsSize){ int ret=0; int i=0; for(i=0;i<numsSize;i++) { ret^=nums[i]; } for(int j=0;j<numsSize+1;j++) { ret^=j; } return ret; }
方法3：
我们可以根据公式计算出缺的数字
我们可以将0~n的数字相加得到一个总数。
再用这个总数减去数组里的数字，最后得到的就是缺少的数字。
int missingNumber(int* nums, int numsSize){ int ret=0; int i=0; for(i=0;i<numsSize+1;i++) { ret+=i; } int j=0; for(j=0;j<numsSize;j++) { ret-=nums[j]; } return ret; }
4.2 轮转数组
该题与博主写过的《旋转字符串问题-----左旋字符串》本质是一样的。方法也是一样的。
方法1：分治法
我们不会直接右轮k个数字，但我们会右轮一个数字。
只要给右转一个数字这个操作循环k次就可以了
右转的操作可以分成三步：
第一步将最后一个数字保存下来。
第二步将前面数字整体往后覆盖。
第三步将保存的数字放在第一位。
注意轮转是有周期性的，轮转nusSize个数字又变回来了
所以应该这样写k%=numsSize;
void rotate(int* nums, int numsSize, int k){ k%=numsSize; int j = 0; for (j = 0; j < k; j++) { //第一步将最后一个数字拿走 int tmp = nums[numsSize - 1]; //第二步将前面的数字整体往后覆盖 for (int i = numsSize-1; i>0; i--) { nums[i] = nums[i-1]; } //第三步将保存的最后的数字放在第一位上 nums[0] = tmp; } }
方法2：三步逆转法：
第一步先逆转前 n-k个数字
第二步再逆转 n-k到n的数字
第三步逆转整体
不过这里要考虑一个k如果大于numsSize时，该怎么办，我们知道当k=numsSize，数组没有变化，当k=numsSize+1时就等于1
所以k相当于是周期出现的
所以应该这样写k%=numsSize;
void reverse(int* left, int* right) { while (left < right) { int tmp = *left; *left = *right; *right = tmp; left++; right--; } } void rotate(int* nums, int numsSize, int k){ k%=numsSize; //先逆转左边 reverse(nums,nums+(numsSize-k)-1); //再逆转右边 reverse(nums+(numsSize-k),nums+numsSize-1); //再逆转整体 reverse(nums,nums+numsSize-1); }
