一个左节点u << 1和右节点u << 1 | 1 的证明
区间修改部分
1.批量等值修改
前提条件
是要区间修改，区间查询，且修改操作修改的值是相同的
情景
一般是要对一个数组执行k次操作，每次改变其中一个区间内所有元素的值，然后询问一个区间内所有元素的最值或总和，
题解代码
void Pushdown(int k){ //更新子树的lazy值，这里是RMQ的函数，要实现区间和等则需要修改函数内容 if(lazy[k]){ //如果有lazy标记 lazy[k<<1] += lazy[k]; //更新左子树的lazy值 lazy[k<<1|1] += lazy[k]; //更新右子树的lazy值 t[k<<1] += lazy[k]; //左子树的最值加上lazy值 t[k<<1|1] += lazy[k]; //右子树的最值加上lazy值 lazy[k] = 0; //lazy值归0 } }
注意懒标记中储存区间修改的值与长度的乘积，大概率开long long
struct node { int l, r; ll val; ll lazy; }t[N << 2]; void pushdown(node& op, ll lazy) { op.val += lazy * (op.r - op.l + 1); op.lazy += lazy; } void pushdown(int x) { if (!t[x].lazy) return; pushdown(t[x << 1], t[x].lazy), pushdown(t[x << 1 | 1], t[x].lazy); t[x].lazy = 0; } void build(int l, int r, int x = 1\没有值传入时，默认初始化为1) { t[x] = { l, r, w[l], 0 }; if (l == r) return; int mid = l + r >> 1; build(l, mid, x << 1), build(mid + 1, r, x << 1 | 1); pushup(x); } void modify(int l, int r, int c, int x = 1) { if (l <= tr[x].l && r >= tr[x].r) { pushdown(tr[x], c); return; }\通过打标记的方法来赋值 pushdown(x); 操作时遇到了懒标记就处理下（懒的思想，顺路就搞下，不顺路就拖着不干） int mid = tr[x].l + tr[x].r >> 1; if (l <= mid) modify(l, r, c, x << 1);\modify的递归也变成了和线段树单点修改query里的递归形式，有交集就递归。 if (r > mid) modify(l, r, c, x << 1 | 1); pushup(x); } ll ask(int l, int r, int x = 1) { if (l <= t[x].l && r >= tr[x].r) return tr[x].val; pushdown(x); //query的唯一变化就是加上了一个pushdown(); int mid = tr[x].l + tr[x].r >> 1; ll res = 0; if (l <= mid) res += ask(l, r, x << 1); if (r > mid) res += ask(l, r, x << 1 | 1); return res; } int main() { int n, m; cin >> n >> m; rep(i, n) scanf("%d", &w[i]); build(1, n); while (m--) { char op[2]; int l, r; scanf("%s %d %d", op, &l, &r); if (*op == 'Q') printf("%lld\n", ask(l, r)); else { int c; scanf("%d", &c); modify(l, r, c); } } return 0; }
自己写的acwing式代码
#include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <cstring> using namespace std; const int N = 1e5 + 10; typedef long long ll; struct node{ int l,r; ll sum; ll lazy; }tr[N<<2]; int w[N]; void pushdown(node &x,ll lazy){ x.sum += lazy*(x.r - x.l + 1); x.lazy += lazy; } void pushdown(int u){ if(!tr[u].lazy) return; pushdown(tr[u<<1],tr[u].lazy),pushdown(tr[u<<1|1],tr[u].lazy); tr[u].lazy = 0; } void pushup(int u){ tr[u].sum = tr[u<<1].sum + tr[u<<1|1].sum; } void build(int u,int l,int r){ tr[u].l = l,tr[u].r = r,tr[u].sum =w[r]; if(l == r) return; int mid = l + r >> 1; build(u<<1,l,mid),build(u<<1|1,mid+1,r); pushup(u); } ll query(int u,int l,int r){ if(tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) return tr[u].sum; ll res = 0; int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1; pushdown(u); if(l <= mid) res += query(u<<1,l,r); if(r > mid) res += query(u<<1|1,l,r); return res; } void modify(int u,int l,int r,int v){ if(tr[u].l >= l && tr[u].r <= r){ pushdown(tr[u],v); return; } pushdown(u); int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1; if(l <= mid) modify(u<<1,l,r,v); if(r > mid) modify(u<<1|1,l,r,v); pushup(u); } int main(){ int n,m; cin >> n >> m; for(int i =1;i <= n;i++) scanf("%d",&w[i]); build(1,1,n); while(m--){ char op[2]; int l,r; scanf("%s%d%d",op,&l,&r); if(*op == 'Q') printf("%lld\n",query(1,l,r)); else{ int c; scanf("%d",&c); modify(1,l,r,c); } } return 0; }
注意：
线段树的初始化在build里完成，多组数据集时不需要再额外初始化。
2.批量自适应修改
前提条件
是区间修改，区间查询，且修改操作的修改的值是根据具体节点储存的值而变化的，比如开根，幂，替换，乘除；
情景
对一个序列里的元素执行k次自适应操作，每次操作一个区间，然后询问区间内所有元素的值。
也有询问某个区间内所有值经过某种处理后的值。（此种问法是询问时用一个变量储存找到的值，经过处理后返回
例题1单种操作
Can you answer these queries?
22ACM集训队-树状数组与线段树基础 - Virtual Judge (vjudge.net)
主要就是把modify的递归条件改成了和传统query操作相同的有交集
复杂度比较高，可能需要一些剪枝，某条件下操作了等于白操作之类的。
代码
#include <iostream> #include <cstring> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <cmath> using namespace std; typedef long long ll; const int N = 1e5 + 10; struct node{ int l,r; ll sum; }tr[N<<2]; ll w[N]; void pushup(int u){ tr[u].sum = tr[u<<1].sum + tr[u<<1|1].sum; } void build(int u,int l,int r){ tr[u] = {l,r,w[r]}; // cout << w[r] << endl; if(l == r) return; int mid = l + r >> 1; build(u<<1,l,mid),build(u<<1|1,mid+1,r); pushup(u); } ll query(int u,int l,int r){ if(tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) { return tr[u].sum; } // cout << tr[u].sum; ll res =0 ; int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1; if(l <= mid) res += query(u<<1,l,r); if(r > mid) res += query(u<<1|1,l,r); return res; } void modify(int u,int l,int r){ if(tr[u].l == tr[u].r) tr[u].sum = sqrt(tr[u].sum); else{ if(tr[u].l >= l && tr[u].r <= r && tr[u].sum == tr[u].r - tr[u].l + 1) return; int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1; if(l <= mid) modify(u<<1,l,r); if(r > mid) modify(u<<1|1,l,r); pushup(u); } } int main() { int T = 1; int n, m; while (cin >> n) { for(int i = 1;i <= n;i++) scanf("%lld", &w[i]); build(1,1, n); printf("Case #%d:\n", T++); scanf("%d", &m); while (m--) { int op, l, r; scanf("%d %d %d", &op, &l, &r); if (l > r) swap(l, r); // cout << l << " " << r << endl; if (op) printf("%lld\n", query(1,l, r)); else modify(1,l, r); } printf("\n"); } return 0; }
例题2多种操作
Transformation HDU - 4578
22ACM集训队-树状数组与线段树基础 - Virtual Judge (vjudge.net)
题解代码
Transformation HDU - 4578 （线段树，审题很重要）_Soar-的博客-CSDN博客
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define lson i<<1,l,m #define rson i<<1|1, m+1,r const int mod = 10007; const int maxn=1e5+10; int x[maxn<<2],flag[maxn<<2]; x是tr，flag是lazy void pushup(int i,int l,int r) { if(!flag[i<<1] || !flag[i<<1|1])左右子节点无值 flag[i] = 0; else if(x[i<<1] != x[i<<1|1])左右子节点有值且不等 flag[i] = 0; else flag[i]=1,x[i]=x[i<<1];左右子节点值相等 所以这是一个记录懒标记的函数，如果左右子节点的值相同，就上传。 通过用父节点的节点的值来代表子节点的值接受处理，降低复杂度 } void pushdown(int i,int l,int r) { if(flag[i]) { flag[i<<1] = flag[i<<1|1] =1; x[i<<1] = x[i<<1|1] = x[i]; flag[i]=0; } 这是一个下传懒标记并处理懒标记的函数，如果有懒标记，说明这个节点是代表子节点接受处理的，所以直接将值下传到子节点，然后清除懒标记 } void update(int ql,int qr,int p,int v,int i,int l,int r) { 妙：直接传入op，也就是p，根据p的值进行不同操作，减少了很多赘余的代码。 我写时想的是写3个modify，也就是update，根据op不同，调用不同的modify，麻烦得很。 if(ql<=l && qr>=r && flag[i]) 这里是有懒标记，且节点区间全都在需要处理的区间内，直接处理当前节点，然后pushdown，就可以实现区间处理 { if(p==1) x[i] = (x[i]+v)%mod; else if(p==2) x[i] = (x[i]*v)%mod; else x[i] = v; 修改当前节点值的话是不需要pushup的，因为pushup的操作是根据子节点的值来决定是否赋予当前节点一个懒标记，只修改当前节点值，代表当前节点已经是叶子节点，或者左右节点值相同，所以就算pushup了，懒标记还是会保持原有状态 return; } pushdown(i,l,r); 可能没有懒标记，会需要逐个单点修改，所以用两个if的原始query递归形式 int m = (l+r)>>1; if(ql<=m) update(ql,qr,p,v,lson); if(qr>m) update(ql,qr,p,v,rson); 进行子节点单点值修改操作后都需要pushup，来更新懒标记状态 pushup(i,l,r); } int query(int ql,int qr,int num,int i,int l,int r) l,r是当前节点的l，r { if(flag[i] && ql<=l && qr>=r) { int ans=1; for(int j=0;j<num;j++)ans=(ans*x[i])%mod;//pow操作，每次pow取余，如果是10007的三次方就有可能爆int了，所以用循环来每次操作后取余 ans=(ans*(r-l+1))%mod; return ans; } pushdown(i,l,r); int m = (l+r)>>1; int ans=0; if(ql<=m)ans+=query(ql,qr,num,lson); if(qr>m)ans+=query(ql,qr,num,rson); return ans%mod; } int main() { int n,m; while(cin>>n>>m,n||m) { memset(flag,1,sizeof flag); memset(x,0,sizeof x); int p,x,y,v; while(m--) { scanf("%d%d%d%d",&p,&x,&y,&v); if(p>=1 && p<=3)update(x,y,p,v,1,1,n); else printf("%d\n",query(x,y,v,1,1,n)); } } }
经过模仿后得到的acwing版代码
#include <iostream> #include <cstring> #include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std; const int N = 1e5 + 10,mod = 10007; struct node{ int l,r; int sum; int lazy; }tr[N<<2]; void pushup(int u){ if(!tr[u<<1].lazy || !tr[u<<1|1].lazy) tr[u].lazy = 0; 有一个子节点懒标记是0（当前节点的子节点的两个子节点的值不相等）则当前节点懒标记就变成0，由此可以推断出，懒标记的含义是表示当前节点的子树里所有节点的值 ，都相等，可以直接用当前节点的值来进行操作。 else if(tr[u<<1].sum != tr[u<<1|1].sum) tr[u].lazy = 0; else tr[u].lazy = 1,tr[u].sum = tr[u<<1].sum; } void pushdown(int u){ if(tr[u].lazy){ tr[u<<1].lazy = tr[u<<1|1].lazy = 1; tr[u<<1].sum = tr[u<<1|1].sum = tr[u].sum; tr[u].lazy = 0; } } void build(int u,int l,int r){ tr[u] = {l,r,0,1}; if(l == r) return; int mid = l + r >> 1; build(u<<1,l,mid),build(u<<1|1,mid+1,r); } void modify(int u,int l,int r,int op,int v){ if(tr[u].l >= l && tr[u].r <= r && tr[u].lazy){ if(op == 1) tr[u].sum = (tr[u].sum + v) % mod; else if(op == 2) tr[u].sum = (tr[u].sum * v)%mod; else { tr[u].sum = v; } return; } pushdown(u); 有懒标记要先处理，然后再运算。 int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1; if(l <= mid) modify(u<<1,l,r,op,v); if(r > mid) modify(u<<1|1,l,r,op,v); pushup(u); } int query(int u,int l,int r,int v){ if(tr[u].l >= l && tr[u].r <= r && tr[u].lazy){ int res = 1; for(int i = 0;i < v;i++) res = (res * tr[u].sum) % mod; res = res * (tr[u].r - tr[u].l + 1) % mod; return res; } pushdown(u); int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1; int res = 0; if(l <= mid) res = (res + query(u<<1,l,r,v) ) %mod; if(r > mid) res = (res + query(u<<1|1,l,r,v)) % mod; return res % mod; } int main(){ int n,m; while(cin >> n >> m,n||m){ // for(int i=0;i <= N << 2;i++) tr[i]= {0,0,0,0}; build(1,1,n); int op,l,r,v; while(m--){ scanf("%d%d%d%d",&op,&l,&r,&v); // cout << op << " " << l << " " << r << " " << v << endl; if(op >=1 && op <= 3){ modify(1,l,r,op,v); } else { printf("%d\n",query(1,l,r,v)); } } } return 0; }
注意
注意点就是非数组模拟节点的代码要用build初始化，然后懒标记初始化为1，因为代表的含义是两个子节
其他套路：
涉及到一个多组输入的套路
前提条件是没有明确组数，结束关键词的多组数据集输入
取反while（~scanf(“%d”,&n)
和while(scanf(“%d”,&n) != EOF)
还有while（cin >> n)三种形式
