神奇的魔数i

 魔数i，1545年卡尔达诺Cardano在其著作《大术》中首次介绍了复数的概念，随后，邦贝利Bomnelli于1572年在其《代数》一书中引入了复数的运算方法。它是-1的平方根，将其附在实数系上，表达式如下：

a+ib

其中：

a和b是任意实数，这样的组合称为复数。

i^2=-1

=> z=a+ib

在实数情形下，我们可以看到，距离、时间和其他物理量都显示出对这种性质的数的需要。

自1539年，卡尔达诺首次知道复数并受到其神奇性质的启发后，他一直关注着找出实三次方程的一般解的表达式。

x^3=3px+2q

按照常规理解，一次方程有一个解，二次方程两个解，那三次方程是不是有三个解。其中在实数系下只有一个实数解（费罗-）卡尔达诺解。

其解建立在q^2>=p^3上

如果q^2<p^3，则需要通过复数的方式，从而得到实数解。

我们知道幂级数在求和的过程中会考虑性态的问题。也即考虑其是发散的还是收敛的。

为啥要考虑收敛，如果不考虑收敛，发散级数得到的结论，这种明显无意义表达式的感觉经常取决于复数的性质。

通过收敛圆来判断级数是否收敛。如果严格处于圆外，则发散。如果处于圆内，则收敛。如果刚好处于圆上，则级数发散还是收敛是个极其微妙的事情。

神奇的公式：

e^2πi=1  =>e^πi+1=0

对于复平面中的单位圆：

e^ix=cosx+isinx

我们知道

e^(a+b) =e^a•e^b

将e^ix=cosx+isinx带入

=> cos(a+b) =cosa cosb-sina sinb

对于 e^3ix=(e^ix)^3

=> cos3a = cos^3 a -3cosa sin^2 a

    sin3a = 3sina cos^a -sin^3 a

也即在复数域，三角函数也成立。

      同时在考试或者做数学题的时候，采用欧拉公式，通常能达到化繁为简的目的，而这正是由于e的缘故，很神奇的一个数。

参考:《通向实在之路》