一.题目及其示例
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。
说明：一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
例如："ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。
两个字符串的公共子序列是这两个字符串所共同拥有的子序列。
若这两个字符串没有公共子序列，则返回 0。
示例 1：输入：text1 = "abcde", text2 = "ace"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "ace"，它的长度为 3；
示例 2: 输入：text1 = "abc", text2 = "abc"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "abc"，它的长度为 3；
示例 3: 输入：text1 = "abc", text2 = "def" ；
输出：0
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0；
提示:
- 1 <= text1.length <= 1000
- 1 <= text2.length <= 1000 输入的字符串只含有小写英文字符。
二.动态规划的基本思想
动态规划算法的基本思想是：将待求解的问题分解成若干个相互联系的子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解；对于重复出现的子问题，只在第一次遇到的时候对它进行求解，并把答案保存起来，让以后再次遇到时直接引用答案，不必重新求解。动态规划算法将问题的解决方案视为一系列决策的结果。
三.思路
动态规划五部曲
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]
有同学会问：为什么要定义长度为[0, i - 1]的字符串text1，定义为长度为[0, i]的字符串text1不香么？
这样定义是为了后面代码实现方便。
2.确定递推公式
主要就是两大情况： text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同；
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。
即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
代码如下：
if(text1[i -1]== text2[j -1]) { dp[i][j]= dp[i -1][j -1]+1; } else { dp[i][j]=max(dp[i -1][j], dp[i][j -1]); }
3.dp数组如何初始化
先看看dp[i][0]应该是多少呢？
test1[0, i-1]和空串的最长公共子序列自然是0，所以dp[i][0] = 0;
同理dp[0][j]也是0。
其他下标都是随着递推公式逐步覆盖，初始为多少都可以，那么就统一初始为0。
代码：
vector<vector<int>> dp(text1.size() + 1, vector<int>(text2.size() + 1, 0));
4.确定遍历顺序
从递推公式，可以看出，有三个方向可以推出dp[i][j]，如图：
那么为了在递推的过程中，这三个方向都是经过计算的数值，所以要从前向后，从上到下来遍历这个矩阵。
5.举例推导dp数组
以输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 为例，dp状态如图：
最后红框dp[text1.size()][text2.size()]为最终结果
以上分析完毕，C++代码如下：
class Solution { public: int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) { vector<vector<int>> dp(text1.size() + 1, vector<int>(text2.size() + 1, 0)); for (int i = 1; i <= text1.size(); i++) { for (int j = 1; j <= text2.size(); j++) { if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) { dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1; } else { dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]); } } } return dp[text1.size()][text2.size()]; } };
java
/* 二维dp数组 */ class Solution { public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) { int[][] dp = new int[text1.length() + 1][text2.length() + 1]; // 先对dp数组做初始化操作 for (int i = 1 ; i <= text1.length() ; i++) { char char1 = text1.charAt(i - 1); for (int j = 1; j <= text2.length(); j++) { char char2 = text2.charAt(j - 1); if (char1 == char2) { // 开始列出状态转移方程 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1; } else { dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]); } } } return dp[text1.length()][text2.length()]; } } /** 一维dp数组 */ class Solution { public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) { int n1 = text1.length(); int n2 = text2.length(); // 多从二维dp数组过程分析 // 关键在于 如果记录 dp[i - 1][j - 1] // 因为 dp[i - 1][j - 1] <!=> dp[j - 1] <=> dp[i][j - 1] int [] dp = new int[n2 + 1]; for(int i = 1; i <= n1; i++){ // 这里pre相当于 dp[i - 1][j - 1] int pre = dp[0]; for(int j = 1; j <= n2; j++){ //用于给pre赋值 int cur = dp[j]; if(text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1)){ //这里pre相当于dp[i - 1][j - 1] 千万不能用dp[j - 1] !! dp[j] = pre + 1; } else{ // dp[j] 相当于 dp[i - 1][j] // dp[j - 1] 相当于 dp[i][j - 1] dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - 1]); } //更新dp[i - 1][j - 1], 为下次使用做准备 pre = cur; } } return dp[n2]; } }
