一，只出现一次的数字

136. 只出现一次的数字 - 力扣（LeetCode）

https://leetcode.cn/problems/single-number/?envType=study-plan&id=shu-ju-jie-gou-ji-chu

1，位运算

如果不考虑时间复杂度和空间复杂度的限制，这道题有很多种解法，可能的解法有如下几种。

使用集合存储数字。遍历数组中的每个数字，如果集合中没有该数字，则将该数字加入集合，如果集合中已经有该数字，则将该数字从集合中删除，最后剩下的数字就是只出现一次的数字。

使用哈希表存储每个数字和该数字出现的次数。遍历数组即可得到每个数字出现的次数，并更新哈希表，最后遍历哈希表，得到只出现一次的数字。

使用集合存储数组中出现的所有数字，并计算数组中的元素之和。由于集合保证元素无重复，因此计算集合中的所有元素之和的两倍，即为每个元素出现两次的情况下的元素之和。由于数组中只有一个元素出现一次，其余元素都出现两次，因此用集合中的元素之和的两倍减去数组中的元素之和，剩下的数就是数组中只出现一次的数字。

上述三种解法都需要额外使用 O(n) 的空间，其中 n 是数组长度。

如何才能做到线性时间复杂度和常数空间复杂度呢？

答案是使用位运算。对于这道题，可使用异或运算 ⊕。异或运算有以下三个性质。

任何数和 0 做异或运算，结果仍然是原来的数，即a⊕0=a。

任何数和其自身做异或运算，结果是 0，即 a⊕a=0。

异或运算满足交换律和结合律，即 a⊕b⊕a=b⊕a⊕a=b⊕(a⊕a)=b⊕0=b。

class Solution {
public:
    int singleNumber(vector<int>& nums) {
        int ret = 0;
        for (auto e: nums) ret ^= e;
        return ret;
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，其中 nn 是数组长度。只需要对数组遍历一次。

• 空间复杂度：O(1)。

二，多数元素

169. 多数元素 - 力扣（LeetCode）

https://leetcode.cn/problems/majority-element/?plan=data-structures&plan_progress=zz5yyb3

说明

最简单的暴力方法是，枚举数组中的每个元素，再遍历一遍数组统计其出现次数。该方法的时间复杂度是 O(n^2)，会超出时间限制，因此我们需要找出时间复杂度小于 O(n^2)的优秀做法。

1，哈希表

思路

我们知道出现次数最多的元素大于 n/2 次，所以可以用哈希表来快速统计每个元素出现的次数。

算法

我们使用哈希映射（HashMap）来存储每个元素以及出现的次数。对于哈希映射中的每个键值对，键表示一个元素，值表示该元素出现的次数。

我们用一个循环遍历数组 nums 并将数组中的每个元素加入哈希映射中。在这之后，我们遍历哈希映射中的所有键值对，返回值最大的键。我们同样也可以在遍历数组 nums 时候使用打擂台的方法，维护最大的值，这样省去了最后对哈希映射的遍历。

class Solution {
public:
    int majorityElement(vector<int>& nums) {
        unordered_map<int, int> counts;
        int majority = 0, cnt = 0;
        for (int num: nums) {
            ++counts[num];
            if (counts[num] > cnt) {
                majority = num;
                cnt = counts[num];
            }
        }
        return majority;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：O(n)，其中 n 是数组 nums 的长度。我们遍历数组 nums 一次，对于 nums 中的每一个元素，将其插入哈希表都只需要常数时间。如果在遍历时没有维护最大值，在遍历结束后还需要对哈希表进行遍历，因为哈希表中占用的空间为 O(n)（可参考下文的空间复杂度分析），那么遍历的时间不会超过 O(n)。因此总时间复杂度为 O(n)。

空间复杂度：O(n)。

2，排序

思路

如果将数组 nums 中的所有元素按照单调递增或单调递减的顺序排序，那么下标为n/2的元素（下标从 0 开始）一定是众数。

算法

对于这种算法，我们先将 nums 数组排序，然后返回上文所说的下标对应的元素。下面的图中解释了为什么这种策略是有效的。在下图中，第一个例子是 n 为奇数的情况，第二个例子是 n 为偶数的情况。

class Solution {
public:
    int majorityElement(vector<int>& nums) {
        sort(nums.begin(), nums.end());
        return nums[nums.size() / 2];
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：O(nlogn)。将数组排序的时间复杂度为 O(nlogn)。

空间复杂度：O(logn)。如果使用语言自带的排序算法，需要使用 O(logn) 的栈空间。如果自己编写堆排序，则只需要使用 O(1) 的额外空间。

3，随机化

思路

因为超过 n/2的数组下标被众数占据了，这样我们随机挑选一个下标对应的元素并验证，有很大的概率能找到众数。

算法

由于一个给定的下标对应的数字很有可能是众数，我们随机挑选一个下标，检查它是否是众数，如果是就返回，否则继续随机挑选。

class Solution {
public:
    int majorityElement(vector<int>& nums) {
        while (true) {
            int candidate = nums[rand() % nums.size()];
            int count = 0;
            for (int num : nums)
                if (num == candidate)
                    ++count;
            if (count > nums.size() / 2)
                return candidate;
        }
        return -1;
    }
};

看题解：

多数元素 - 多数元素 - 力扣（LeetCode）

https://leetcode.cn/problems/majority-element/solution/duo-shu-yuan-su-by-leetcode-solution/

三，三数之和

15. 三数之和 - 力扣（LeetCode）

https://leetcode.cn/problems/3sum/?plan=data-structures&plan_progress=zz5yyb3

看题解：

三数之和 - 三数之和 - 力扣（LeetCode）

https://leetcode.cn/problems/3sum/solution/san-shu-zhi-he-by-leetcode-solution/