前言
在求解机器学习算法的模型参数，即无约束优化问题时，梯度下降（Gradient Descent） 是最常采用的方法之一，另一种常用的方法是最小二乘法。
在 【AI】浅谈梯度下降算法（理论篇） 这篇博文中，我们已经学习了梯度下降算法的一些基本概念以及理论推导，接下来，我们将通过结合代码进行实战，理论与实践相结合，加深对知识点的理解；
大家族
尽管说是梯度下降，但其实它还是个庞大的家族，就类似于编程语言有 C、Java、Python 等之分，梯度下降算法也被分为了几大类，主要的有 BGD、SGD、MBGD：
批量梯度下降法（Batch Gradient Descent）: 梯度下降法最常用的形式，具体做法也就是在更新参数时使用所有的样本来进行更新；
优点：全局最优解，易于并行实现；
缺点：计算代价大，数据量大时，训练过程慢；随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）: 和批量梯度下降法原理类似，区别在于求梯度时，没有用所有的 $m$ 个样本的数据，而是仅仅选取一个样本 $j$ 来求梯度；
优点：训练速度快；
缺点：准确度下降，并不是全局最优，不易于并行实现；小批量梯度下降法（Mini-batch Gradient Descent）: 小批量梯度下降法是批量梯度下降法和随机梯度下降法的折中，也就是对于 $m$ 个样本，我们采用 $x$ 个样本来迭代，$1<x<m$。一般可以取 $x=10$，当然根据样本的数据量，可以调整这个 $x$ 的值；
前两种方法的性能折中；
一维问题
例1：求 
的最小值
$$ f(x) = x^2 + 1 $$
使用梯度下降法求 $f(x) = x^2 + 1 \quad (-10 \leq x \leq 10)$ 的最小值
因为 $f(x) = x^2 + 1$ 是凸函数，从图中也可以一眼看出，其最小值就在 $x=0$ 处；
接下来就使用梯度下降法进行求解：
1、目标函数，即 $f(x) = x^2 + 1$ ：
def func_target(x):
return x ** 2 + 12、求解梯度，即 $f(x)^{'} = 2x$ ：
def func_gradient(x):
return x * 23、梯度下降算法，需要注意几个参数的意义：
x: 当前 x 的值，可以通过参数提供初始值；learn_rate: 学习率，相当于设置的步长；precision: 收敛精度；max_iters: 最大迭代次数；
def SGD(x=1, learn_rate=0.1, precision=1e-5, max_iters=10000):
for i in range(max_iters):
grad_cur = func_gradient(x)
if abs(grad_cur) < precision:
break
x = x - learn_rate * grad_cur
print(f"第 {i+1} 次迭代: x 值为 {x}, y 值为 {func_target(x)}")
print(f"\n最小值 x = {x}, y = {func_target(x)}")
return x
if __name__ == '__main__':
SGD(x=10, learn_rate=0.2)
例2：求 
的极值
通过梯度下降的方法成功求得了 的最小值之后是不是信心大增呢，接下来让我们逐步加深难度：使用梯度下降法求多项式 $\frac{1}{2}[(x_1+x_2-4)^2 + (2x_1+3x_2-7)^2]$ 的极值；
在使用梯度下降求解这道题的过程中，就不得不注意到一个问题：梯度下降可能在局部最小的点收敛；
1、目标函数，即 $\frac{1}{2}[(x_1+x_2-4)^2 + (2x_1+3x_2-7)^2$ ：
def func_target(x1, x2):
return ((x1 + x2 - 4) ** 2 + (2*x1 + 3*x2 -7) ** 2) * 0.52、求解梯度，即 $\frac{∂f}{∂x_1} = (x_1+x_2-4)+2(2x_1+3x_2-7)$ 和 $\frac{∂f}{∂x_2} = (x_1+x_2-4)+3(2x_1+3x_2-7)$：
def func_gradient(x1, x2):
grad_x1 = (x1 + x2 - 4) + 2 * (2*x1 + 3*x2 -7)
grad_x2 = (x1 + x2 - 4) + 3 * (2*x1 + 3*x2 -7)
return grad_x1, grad_x23、梯度下降算法：
def SGD(x1=0, x2=0, learn_rate=0.01, precision=1e-6, max_iters=10000):
y1 = func_target(x1, x2)
for i in range(max_iters):
grad_x1, grad_x2 = func_gradient(x1, x2)
x1 = x1 - learn_rate * grad_x1
x2 = x2 - learn_rate * grad_x2
y2 = func_target(x1, x2)
if (y1 - y2) < precision:
break
if y2 < y1: y1 = y2
print(f"第 {i+1} 次迭代: x1 值为 {x1}, x2 值为 {x2}, 输出值为 {y2}")
print(f"该多项式的极小值为 {y2}, ({x1}, {x2})")
return x1, x2, y2
if __name__ == '__main__':
SGD()
中间的迭代过程就省略了；
二维问题
当你通过自己的努力完成前两个例子之后，你是不是已经不满足于一维问题了呢，那么接下来我们进入二维问题：使用梯度下降法求 $f(x,y) = -e^{-(x^2+y^2)}$ 在 $[0,0]$ 处有最小值；
$$ f(x,y) = -e^{-(x^2+y^2)} $$
通过这个例子，我们会发现梯度下降的局限性，先在这里留个悬念；
1、目标函数，即 $f(x,y) = -e^{-(x^2+y^2)}$ ：
def func_target(cell):
:param cell: 二维向量
return -math.exp(-(cell[0] ** 2 + cell[1] ** 2))2、求解梯度，即 $\frac{∂f}{∂x} = 2xe^{-(x^2+y^2)}$ 和 $\frac{∂f}{∂y} = 2ye^{-(x^2+y^2)}$：
def func_gradient(cell):
:param cell: 二维向量
grad_x = 2 * cell[0] * math.exp(-(cell[0] ** 2 + cell[1] ** 2))
grad_y = 2 * cell[1] * math.exp(-(cell[0] ** 2 + cell[1] ** 2))
return np.array([grad_x, grad_y])3、梯度下降算法：
def SGD(x=np.array([0.1, 0.1]), learn_rate=0.1, precision=1e-6, max_iters=10000):
for i in range(max_iters):
grad_cur = func_gradient(x)
if np.linalg.norm(grad_cur, ord=2) < precision:
break
x = x - learn_rate * grad_cur
print(f"第 {i+1} 次迭代: x 值为 {x}, y 值为 {func_target(x)}")
print(f"\n最小值 x = {x}, y = {func_target(x)}")
return x4、当 $x0$ 的初始值设为 $[1,−1]$ 时，一切都显得很正常：
5、但当我们把 $x0$ 的初始值设为 $[3,−3]$ 时，结果是出乎意料的：
梯度下降法没有找到真正的极小值点！
局限性
继续讲述上面的非预期结果：
如果仔细观察目标函数的图像，以及梯度下降法的算法原理，你就很容易发现问题所在了。在 $[3,−3]$ 处的梯度就几乎为 0 了！
由于“梯度过小”，梯度下降法可能无法确定前进的方向了。即使人为增加收敛条件中的精度，也会由于梯度过小，导致迭代中前进的步长距离过小，循环时间过长。
梯度下降法实现简单，原理也易于理解，但它有自身的局限性，因此有了后面很多算法对它的改进。
对于梯度过小的情况，梯度下降法可能难以求解。
此外，梯度下降法适合求解只有一个局部最优解的目标函数，对于存在多个局部最优解的目标函数，一般情况下梯度下降法不保证得到全局最优解（由于凸函数有个性质是只存在一个局部最优解，所有也有文献的提法是：当目标函数是凸函数时，梯度下降法的解才是全局最优解）。
由于泰勒公式的展开是近似公式，要求迭代步长要足够小，因此梯度下降法的收敛速度并非很快的。
后记
上述就是本篇博文的所有内容了，通过实战对梯度下降知识点进行巩固和加深印象，并且层层收入，希望读者能有所收获！
对于理论还不是很清楚的读者，可以回看上篇博文：【AI】浅谈梯度下降算法（理论篇）；
参考：
