1.导数

导数定义： 反应的是函数 y = f ( x ) y=f(x)y=f(x) 在某一点处沿着自变量 x xx 的正方向（即: x xx 轴正方向）的变化率。

导数公式：

2.偏导数

偏导数定义： 以二元函数为例，反应的是函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y)z=f(x,y) 在某一点处沿着某个坐标轴正方向（即：沿着 x xx 轴正方向或者沿着 y yy 轴正方向）的变化率。

偏导数公式：

注： 导数与偏导数本质是⼀致的，都是当⾃变量的变化趋于0时，函数值的变化与⾃变量的变化，它们两者之间⽐值的极限。

3.方向导数

在前⾯导数和偏导数的定义中，均是沿坐标轴正⽅向讨论函数的变化率。那么当我们讨论函数沿任意⽅向的变化率时，也就引出了⽅向导数的定义。

方向导数： 反应的是函数 y yy 在某一点 x 0 x_0x

0

 处沿着特定方向（不一定是 x xx 轴正方向了）的变化率。

4.梯度

梯度的提出只为了回答一个问题：函数在变量空间的某一点处，沿着哪个方向有最大的变化率？

梯度的定义如下：函数在某一点的梯度是这样的一个向量，它的方向与最大方向导数的方向一致，而它的大小为方向导数的最大值。

注意：

1）梯度是一个向量，即有方向有大小；

2）梯度的方向就是最大方向导数的方向，即：函数增长最快的方向。

3）梯度的值，就是最大方向导数的值。

区别： 偏导数只能对坐标轴某一方向求导数，方向倒数可以对自变量定义域内任意方向求导，而梯度是方向方向导数值取最大的一个特殊情况。