先来详细描述下这道题。在一个全为正整数的数组中找到总和为给定值的子数组，给出子数组的起始下标（闭区间），举个例子：
在[3 2 1 2 3 4 5]这个数组中，和为10的子数组是[1 2 3 4]，所以答案应该是[2,5]。
和为15的子数组是[1 2 3 4 5]，答案为[2,6]。
这是一道非常有意思的题，为什么这么说？最简单的解法只要具备基本的编程知识就能写出，更优的解法需要你有数据结构和算法能力，越高效的解法越巧妙，可能你一下子无法想出所有的解法，但我相信你看完这篇博客一定会感叹算法的神奇。
回到这道题上来，实际上它有着O(n^3) 、O(n^2) 、O(nlogn) 、O(n) 4种时间复杂度的解法，如果算上空间复杂度的差异的话总共5种解法，我觉得还是比较能考察到一个人的算法水平的。接下来让我带领大家由简入难看下从青铜到王者的5种解法，带大家吊打面试官。
这里我们设输入参数为(arr[],target)，后续代码中我会用s和e来分别表示起始和终止位置。另外为了简化代码思路，我们假设给定的参数里最多只有一个解（实际上多个解也不难，但会让代码变长，不利于描述思路，多解的情况就留给你当课后作业了）。
青铜-暴力求解
首先当然是最简单的暴力求解了，遍历起始位置s和结束位置e，然后求s和e之间所有数字的和。三层循环简单粗暴，不需要任何的技巧，相信你大一刚学会编程就能解出来。
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public int[] find(int[] arr, int target) { for (int s = 0; s < arr.length; s++) { for (int e = s+1; e < arr.length; e++) { int sum = 0; for (int k = s; k <= e; k++) { // 求s到e之间的和 sum += arr[k]; } if (target == sum) { return new int[]{s, e}; } } } return null; }
我们来分析下时间复杂度，很明显是O(n^3)，当n超过1000时就会出现肉眼可见的慢，想想如何优化？
白银-空间换时间
上面代码中，我们每次都需要算从s到e之间的数组的和sum[s,e]，假设我之前已经求过了[1,10]之间的和sum[1,10]，现在要求[2,10]之间的和sum[2,10]，显然这中间有很大一部分是重叠的(sum[2,10])，能不能把这部分重复扫描给消除掉？这里就需要做下巧妙的变换了。
实际上sum[s, e] = sum[0, e] - sum[0, s-1], sum[0,i]我们可以预先保存下来，然后重复使用。实际上sum数组我们可以通过一遍数据预处理获取到。上图中，arr蓝色区域的和正好等于sum数组中红色减去绿色，即sum(arr[3]-arr[7]) = sum[7]-sum[2]。
回到代码上来，编码实现中我用了额外一个数组arrSum来存储0到i(0<=i<n)之间所有的和，为了处理方便sumArr下标从1开始，sumArr[i]表示远数组中sum[0, i-1]。有了sumArr之后，sum[s,e]就可以通过sumArr[e+1]-sumArr[s]间接获取到。完整代码如下：
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public int[] find(int[] arr, int target) { int[] sumArr = new int[arr.length + 1]; for (int i = 1; i < sumArr.length; i++) { sumArr[i] = sumArr[i-1] + arr[i-1]; // 预处理，获取累计数组 } for (int s = 0; s < arr.length; s++) { for (int e = s+1; e < arr.length; e++) { if (target == sumArr[e+1] - sumArr[s]) { return new int[]{s, e}; } } } return null; }
通过上述用空间换时间的方式，我们可以直接将时间复杂度从O(n^3) 降低到O(n^2)。
黄金-二分查找
细心的你可能已经发现了，因为给出的arr都是正整数，所以sumArr一定是递增且有序的，对于有序的数组，我们可以直接采用二分查找。对于这道题而已，我们可以遍历起点s，然在sumArr中二分去查找是否有终点e，如果s对于的e存在，那么sumArr[e]一定等于sumArr[s] + target，改造后的代码如下，相比于上面代码，增加了二分查找。
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public int[] find(int[] arr, int target) { int[] sumArr = new int[arr.length + 1]; for (int i = 1; i < sumArr.length; i++) { sumArr[i] = sumArr[i-1] + arr[i-1]; } for (int s = 0; s < arr.length; s++) { int e = bSearch(sumArr, sumArr[s] + target); if (e != -1) { return new int[]{s, e}; } } return null; } // 二分查找 int bSearch(int[] arr, int target) { int l = 1, r = arr.length-1; while (l < r) { int mid = (l + r) >> 1; if (arr[mid] >= target) { r = mid; } else { l = mid + 1; } } if (arr[l] != target) { return -1; } return l - 1; }
由此，我们又继续将时间复杂从O(n^2)降低到了O(nlogn)。
钻石-HashMap优化
有序数组的查找除了可以用二分优化，还可以用hashMap来优化，借助HashMap O(1)的查询时间复杂度。我们又一次用空间来换取了时间。
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public int[] find(int[] arr, int target) { int[] sumArr = new int[arr.length + 1]; Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>(); for (int i = 1; i < sumArr.length; i++) { sumArr[i] = sumArr[i-1] + arr[i-1]; map.put(sumArr[i], i-1); } for (int s = 0; s < arr.length; s++) { int e = map.getOrDefault(sumArr[s]+target, -1); if (e != -1) { return new int[]{s, e}; } } return null; }
我们终于将时间复杂度降低到了O(n)，这可是质的飞跃。
王者-尺取法
别急，还没结束，对于这道题还有王者解法。上文中我们通过不断的优化，将时间复杂度从O(n^3)一步步降低到了，但我们却一步步增加了存储的使用，从开始新增的sumArr数字，到最后的又增加的HashMap，空间复杂度从O(1)变为了O(n)。有没有办法把空间复杂度也给将下来？我能写到这那必然是有的。
这种算法叫做尺取法。尺取法，这个名字有点难理解。我们直接举个具体的例子，假设有n调长度不一的绳子并列放在一起，你需要找出其中连续的一部分绳子组成一条长度为target的绳子，这里需要注意是连续。这时候你可以找一个长度为target的尺子，然后把绳子一段段往尺子上放，如果发现短了就往后面再接一根，如果发现长了，就把最头上的一根扔掉，直到长度恰好合适。
在使用中我们并不需要这把尺子，只需要拿target作为标尺即可。说起来可能比较难理解，直接举个例子，下图演示了从数组中找到和为22的子数组的过程。
只要小了就右加，大了就左减，直到找到目标。
为什么尺取法是对的？我理解尺取法其实是解法二白银解法的一种优化，也是遍历了起点s，但是对终点e不做无效的遍历，如果e到某个位置后已经超了，因为数组里都是正数，再往后肯定是超的，也就没必要继续遍历e了。转而去调整s，如果s右移到某个位置后总和小了，s再往右总和只会更小，也就没必要继续调整s了…… 整个过程就像是先固定s去遍历e，然后固定e再去遍历s ……，直到得到结果。
尺取法可用的基础在于e往右移动总和一定是增的，s往右移总和一定是减的，也就是说数组中所有的数必须是正的。 没有完美的算法可以解决任何问题，但对于特定的问题一定有最完美的解法。
说完尺取法，我们来看下用尺取法是如何解决这道题的，代码比较简单，如下：
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public int[] find(int[] arr, int target) { int s = 0, e = 0; int sum = arr[0]; while (e < arr.length) { if (sum > target) { sum -= arr[s++]; } else if (sum < target) { sum += arr[++e]; } else { return new int[]{s, e}; } } return null; }
只有一层循环，时间复杂度O(n)。没有额外的空间占用，空间复杂度O(1)，这就是最完美的解法。
总结
这道算法题乍看简单，细看其实真的不简单。可能你面试遇到，没办法一下子想到最优的解，但给出一个可行的解总比没有解强。我之前面试问别人这个题，他一上来就是想着怎么最优解决，反而连最简单的青铜解法都没写出来。记得下次面试，实在是解不出来就先给个60分的答案，然后再想办法把分数提升上去，别最后交了白卷。给出一个可行解，然后再持续迭代优化，我觉得这也是解决一个复杂问题比较好的思路。
最后送大家一句鸡汤，没有人生下来就是王者，只是不断的努力成为了王者罢了。
