五、股票问题
买卖股票的最佳时机（LeetCode-121）
题目
给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。
你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。
返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。
示例 1：
输入：[7,1,5,3,6,4] 输出：5 解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。 注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。
示例 2：
输入：prices = [7,6,4,3,1] 输出：0 解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
提示：
1 <= prices.length <= 105
0 <= prices[i] <= 104
思路
dp[i][取0或1] 的含义
d p [ i ] [ 0 ] 表示第 i 天持有该股票所得现金
d p [ i ] [ 1 ] 表示第 i 天不持有该股票所得现金
递推公式
d p [ i ] [ 0 ] 可由两个状态推出
第 i − 1 天持有股票，则等于 d p [ i − 1 ] [ 0 ]
第 i ii 天买入股票，所得现金就为今天买入后 − p r i c e [ i ]
选择所得现金最多的，即二者较大值
d p [ i ] [ 1 ] 可由两个状态推出
第 i − 1天不持有股票，则等于 d p [ i − 1 ] [ 0 ]
第 i ii 天卖出股票，则等于 p r i c e [ i ] + d p [ i − 1 ] [ 0 ]
选择所得现金最多的，即二者较大值
数组初始化
dp[0][0] 表示第0天持有股票，所以等于 − p r i c e [ 0 ]
dp[0][1] 表示第0天不持有股票，等于0
遍历顺序
从前往后
测试用例
把用例自己脑子过一遍就懂了
代码展示
class Solution { public: int maxProfit(vector<int> &prices) { int n = prices.size(); vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(2)); dp[0][0] = -prices[0]; dp[0][1] = 0; for (int i = 1; i < n; i++) { dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]); dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]); } return dp[n - 1][1]; } };
滚动数组优化！
从递推公式可以看出，dp[i]只是依赖于dp[i - 1]的状态。
因此只要记录前一天和当天的状态就行
class Solution { public: int maxProfit(vector<int> &prices) { int n = prices.size(); vector<vector<int>> dp(2, vector<int>(2)); dp[0][0] = -prices[0]; dp[0][1] = 0; for (int i = 1; i < n; i++) { dp[i % 2][0] = max(dp[(i - 1) % 2][0], -prices[i]); dp[i % 2][1] = max(dp[(i - 1) % 2][1], dp[(i - 1) % 2][0] + prices[i]); } return dp[(n - 1) % 2][1]; } };
这优化法属实是把二进制玩明白了，我大为震撼。
买卖股票的最佳时机Ⅱ（LeetCode-122）
题目
给定一个数组 prices ，其中 prices[i] 是一支给定股票第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。
**注意：**你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入: prices = [7,1,5,3,6,4] 输出: 7 解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。 随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3 。
示例 2:
输入: prices = [1,2,3,4,5] 输出: 4 解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。 注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3:
输入: prices = [7,6,4,3,1] 输出: 0 解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
提示：
1 <= prices.length <= 3 * 104
0 <= prices[i] <= 104
思路
区别就在于可以多次买入！
唯一区别就在于递推公式的 d p [ i ] [ 0 ] dp[i][0]dp[i][0]
五部曲
dp[i][取0或1] 的含义
d p [ i ] [ 0 ] 表示第 i 天持有该股票所得现金
d p [ i ] [ 1 ] 表示第 i 天不持有该股票所得现金
递推公式
d p [ i ] [ 0 ] 可由两个状态推出
第 i − 1天持有股票，则等于 d p [ i − 1 ] [ 0 ]
第 i 天买入股票，由于可以多次买入，可能会出现之前已经买卖过一轮产生利润的情况，所得现金就为今天买入后 d p [ i − 1 ] [ 1 ] − p r i c e [ i ]
选择所得现金最多的，即二者较大值
d p [ i ] [ 1 ]可由两个状态推出
第 i − 1天不持有股票，则等于 d p [ i − 1 ] [ 1 ]
第 i 天卖出股票，则等于 p r i c e [ i ] + d p [ i − 1 ] [ 0 ]
选择所得现金最多的，即二者较大值
数组初始化
dp[0][0] 表示第0天持有股票，所以等于 − p r i c e [ 0 ]
dp[0][1] 表示第0天不持有股票，等于0
遍历顺序
从前往后
代码展示
class Solution { public: int maxProfit(vector<int> &prices) { int n = prices.size(); vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(2)); dp[0][0] = -prices[0]; dp[0][1] = 0; for (int i = 1; i < n; i++) { dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]); dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]); } return dp[n - 1][1]; } };
买卖股票的最佳时机Ⅲ（LeetCode-123）
题目
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
**注意：**你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4] 输出：6 解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。 随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。
示例 2：
输入：prices = [1,2,3,4,5] 输出：4 解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。 注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。 因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3：
输入：prices = [7,6,4,3,1] 输出：0 解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
示例 4：
输入：prices = [1] 输出：0
提示：
1 <= prices.length <= 105
0 <= prices[i] <= 105
思路
区别在于最多2次交易！
五部曲
dp[i][j] 的含义
一天一共有五种状态
0——没有操作
1——第一次买入
2——第一次卖出
3——第二次买入
4——第二次卖出
d p [ i ] [ j ] 表示在第 i 天，状态 j下（j为上五种状态）所剩的最大现金
递推公式
d p [ i ] [ 1 ] 表示第一次买入股票的状态，并不是说一定在当天买入，可以之前买入，该天沿用。可由两个状态推出
第 i 天没有操作，沿用前一天状态，则等于 d p [ i − 1 ] [ 1 ]
第 i 天第一次买入股票，则等于 d p [ i − 1 ] [ 0 ] − p r i c e [ i ]
选择所得现金最多的，即二者较大值
d p [ i ] [ 2 ] 可由两个状态推出
第 i 天没有操作，沿用前一天状态，则等于 d p [ i − 1 ] [ 2 ]
第 i 天第一次卖出股票，则等于 d p [ i − 1 ] [ 1 ] + p r i c e s [ i ]
选择所得现金最多的，即二者较大值
d p [ i ] [ 3 ] 可由两个状态推出
d p [ i ] [ 3 ] = m a x ( d p [ i − 1 ] [ 3 ] , d p [ i − 1 ] [ 2 ] − p r i c e s [ i ] )
d p [ i ] [ 4 ] 可由两个状态推出
d p [ i ] [ 4 ] = m a x ( d p [ i − 1 ] [ 4 ] , d p [ i − 1 ] [ 3 ] + p r i c e s [ i ] )
数组初始化
dp[0][0] 等于零
dp[0][1] 等于 − p r i c e [ 0 ]
dp[0][2] 虽然题目没有明确说是否允许同一天内买入并且卖出，但都不影响，因为这一操作收益始终为零
dp[0][3] 等于 − p r i c e [ 0 ]
dp[0][4] 等于零
遍历顺序
从前往后
测试用例
代码展示
class Solution { public: int maxProfit(vector<int> &prices) { int n = prices.size(); vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(5)); dp[0][1] = -prices[0]; dp[0][3] = -prices[0]; for (int i = 1; i < n; i++) { dp[i][1] = max(dp[i - 1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]); dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2]); dp[i][3] = max(dp[i - 1][2] - prices[i], dp[i - 1][3]); dp[i][4] = max(dp[i - 1][3] + prices[i], dp[i - 1][4]); } return dp[n - 1][4]; } };
这题比较复杂，但理清每个状态的含义就很清晰了
