约瑟夫环——公式法——附LeetCode—剑指offer题目—剑指 Offer 62. 圆圈中最后剩下的数字

约瑟夫环问题：

      约瑟夫问题是个著名的数学问题，N个人围成一圈，从第一个人开始数，杀掉第M个人。然后从第M+1个人再开始数，数到第M个人再杀掉，然后再从第M+1个人开始数，数到第M个人再次杀掉，反复进行，直到这圈人只剩下最后一个人。游戏结束。

那么问题来了，如何快速的判断最后留下的那个人是谁呢？这就是约瑟夫环要研究的问题。

我们以数组为例研究，假设 N=8 ， M=3,     F(8 , 3) = 7     (这个7是 7这个人的序号)

                               1      ,       2 ,       3 ,       4 ,       5 ,       6 ,       7,       8

第一个回合：杀掉第三个人数组变成    F(7 , 3) = 4  (这个1是 7这个人的序号)

                                       4 ,       5 ,       6 ,       7,       8,       1,       2

第二个回合：杀掉第三个人数组变成     F(6 , 3) = 1  (这个5是 7这个人的序号)

                                             7,       8,       1,       2,       4,       5

第三个回合：杀掉第三个人数组变成       F(5 , 3) = 4 在  (这个2是 7这个人的序号)

                                                 2,       4,       5,       7,       8

第四个回合：杀掉第三个人数组变成        F(4 , 3) = 1   (这个4是 7这个人的序号)

                                                     7,       8,       2,       4

第五个回合：杀掉第三个人数组变成        F(3 , 3) = 2   (这个1是 7这个人的序号)

                                                       4,       7,       8

第六个回合：杀掉第三个人数组变成（因为是个环，所以数完7是第二个时候，就重新回到4数作为第三个，因此下一个是删掉的4）   F(2 , 3) = 2 (这个1是 7这个人的序号)

                                                            4,       7

第七个回合：杀掉第三个人数组变成    F(1 , 3) = 1 (这个1是 7这个人的序号)

                                                                 7

我们可以看到最后剩下的是7号，暴力的办法是模拟整个过程，然后得到最终留下的人，但是在程序里这样做会导致时间复杂度非常高，具体的可以看我的下面python的暴力程序。

约瑟夫环的方法类似于找个规律，让我们可以快速的确定那个人可以留到最后，我们可以看到

F(8 , 3) = 7   ， F(7 , 3) = 4 ， F(8 , 3) =  F(7 , 3) + 3，因为每次杀掉第三个人之后，前两位也位移到数组最后面了，所以7号人的位置会左移三位，由7移动到4，相当于所在的下标 -3  。

这就是我们找到的规律，如果我们使用（倒推思想）让最后的一个函数 F(1 , 3)不停的+3 ，是不是就可以很快找到活到最后的人。

那么我们来这样做，由上面可知 F(1 , 3)  = 1， 那么按照我们找到的规律可得

                                                    F(2 , 3) = F(1 , 3)  + 3 = 1 + 3 = 4

但是我们发现F(2 , 3)的列表长度一共才2，序号4从何谈起呢？因此我们需要对我们每次的+3操作再加上一个操作，即对当前列表的长度进行取余。等式变成如下

                                    F(2 , 3) = （F(1 , 3)  + 3）%2 = （1 + 3 ）% 2 =  4%2 = 2

因为每次移动到最后之后如果数组没有了，但是还没移动完，就回到第一个重新移动，这就是取余的原因，因为我们这个是个围成圈的嘛！

                                   F(3 , 3) = （F(2 , 3)  + 3）% 3 = （2 + 3 ）% 3 =  5%3 = 2

                                   F(4 , 3) = （F(3 , 3)  + 3）% 4 = （2 + 3 ）% 4 =  5%4 = 1

                                   F(5 , 3) = （F(4 , 3)  + 3）% 5 = （1 + 3 ）% 5 =  5%5= 4

                                   F(6 , 3) = （F(5 , 3)  + 3）% 6 = （4 + 3 ）% 6 =  7%6 = 1

                                   F(7 , 3) = （F(6 , 3)  + 3）% 7 = （1 + 3 ）% 7 =  4%7 = 4

                                   F(8 , 3) = （F(7 , 3)  + 3）% 8 = （4 + 3 ）% 8 =  7%8 = 7

我想到这里，这个规律我们已经看的很清楚了，即

                                      F(N , M) = （F(N-1 , M)  + M）%N

没错，这个公式就是我们的约瑟夫环的递推公司，用这个方法求解下面的剑指offer的习题即可

剑指 Offer 62. 圆圈中最后剩下的数字

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0,1,···,n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈里删除第m个数字（删除后从下一个数字开始计数）。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

例如，0、1、2、3、4这5个数字组成一个圆圈，从数字0开始每次删除第3个数字，则删除的前4个数字依次是2、0、4、1，因此最后剩下的数字是3。

示例 1：

输入: n = 5, m = 3

输出: 3

示例 2：

输入: n = 10, m = 17

输出: 2

限制：

1 <= n <= 10^5

1 <= m <= 10^6

通过次数148,821提交次数226,172

第一种暴力法：

构造队列，deque，rotate函数可以旋转队列，使它真的变成圈

每次计算余数，然后进行队列将m之前的数放到队列最后，然后弹出最左边的数

时间有点长

Python代码：

class Solution:
    def lastRemaining(self, n: int, m: int) -> int:
        ans = collections.deque(list(range(n)))
        while len(ans)!=1:
                ans.rotate(-(m%len(ans))+1)#队列左移
                ans.popleft()  #移动完之后，弹出
        return ans[0]

第二种约瑟夫环法-递归思想代码：

Python代码：

class Solution:
    def lastRemaining(self, n: int, m: int) -> int:
        f = 0
        for i in range(2 , n+1): f = (f+m)%i
        return f

 C++代码：

class Solution {
public:
    int lastRemaining(int n, int m) {
        int f=0;
        for(int i=2; i<n+1; i++) f = (f+m)%i;
        return f;
    }
};