假设树上每个结点都存储了一项数据，如果这些数据是杂乱无章的插入树中，那查找这些数据时并不容易，需要 O(N) 的时间复杂度来遍历每个结点搜索数据。

如果想要时间复杂度降到 O(log⁡N) ，则需要在常数时间内，将问题的大小缩减。如果为一个结点加上限制，比如子树上的值总比当前结点的值大，而另一边总比当前结点的值小，如此便在常数时间内可以将问题的大小减半，可以判断接下来搜索左子树还是右子树。这种加以限制的二叉树被称为 二叉查找树 (Binary Search Tree, BST)。假定 BST 中左结点总是严格小于当前结点的值，而右结点总是不小于当前结点的值。

二叉树的遍历四种方法很简单，如果将其用于 BST 上有什么效果呢：

前序遍历： 6,2,1,4,3,8,7,9

中序遍历： 1,2,3,4,6,7,8,9

后序遍历： 1,3,4,2,7,9,8,6

层序遍历： 6,2,8,1,4,7,9,3

BST 中进行查找

对 BST 的查找操作中，以下三种操作是最为简单的。

判断元素是否存在，存在时将返回 true ，反之返回 false

template <class Element>
bool contains(BinaryTreeNode<Element>* root, const Element& target) {
  if (root == nullptr) {
    return false;
  }
  if (root->data == target) {
    return true;
  }
  return contains(root->data < target ? root->right : root->left, target);
}

查找最小值并返回其结点

template <class Element>
BinaryTreeNode<Element>* find_min(BinaryTreeNode<Element>* root) {
  if (root == nullptr) {
    return nullptr;
  }
  return root->left == nullptr ? root : find_min(root->left);
}

查找最大值并返回其结点

template <class Element>
BinaryTreeNode<Element>* find_max(BinaryTreeNode<Element>* root) {
  if (root != nullptr) {
    while (root->right != nullptr) {
      root = root->right;
    }
  }
  return root;
}

// 获取下界
template <class Element>
BinaryTreeNode* get_lower_bound(BinaryTreeNode* root, const Element& target) {
  auto result = root;
  while (root != nullptr) {
    if (!(root->data < target)) {
      result = root;
      root = root->left;
    } else {
      root = root->right;
    }
  }
  return result;
}
// 获取上界
template <class Element>
BinaryTreeNode* get_upper_bound(BinaryTreeNode* root, const Element& target) {
  auto result = root;
  while (root != nullptr) {
    if (target < root->data) {
      result = root;
      root = root->left;
    } else {
      root = root->right;
    }
  }
  return result;
}

BST 中进行插入与移除操作

插入一个元素在 BST 上的操作十分简单，与 contains 函数一样，以 BST 的定义顺着 BST 向下寻找，直到结点的子结点为 nullptr 为止，将这个插入的结点挂载到这个查找到的子结点上。

如果是移除操作呢？我们一直忽略了如何在二叉树中移除一个元素，因为正常的一棵二叉树中，如果你想移除一个结点，你需要处理移除结点之后 parent 与 child 之间的关系。这并不好处理，你不确定这些 child 是否可以挂载到 parent 上，继续以 parent 的子结点出现。幸运的是，你可以直接将其值与一个 leaf 交换，并直接删除 leaf 就好，这样你就没有 parent 的担忧了。

这种交换的方式可以用于 BST 吗？当然是完全可以。现在只剩下一个问题了，如何保证在移除结点后，这棵树依然是 BST，稍微转换一下问题的问法：和哪个 leaf 交换不会影响 BST 的结构。

当然是和其前驱或者后继交换后再删除不会影响 BST 的整体结构，如果前驱或后继并不是 leaf，那么递归地交换结点的值，直到结点是 leaf 为止。如果这个结点本身就是 leaf，那不用找了，决定就是你了！

可选择前驱还是后继呢，如果结点有右子树，则代表着其后继在右子树中；如果结点有左子树，则表达其前驱在左子树中。如果没有对应的子树，代表其前驱或者后继需要回到父结点寻找，为了不必要的复杂度，一般选择在其子树中寻找前驱 / 后继结点。如果你找到了一个结点的前驱 / 后继，如果它不是 leaf，那它一定没有后继 / 前驱所对应的子树，被迫你只能一直沿着向前或向后寻找 leaf。

BST 的平均情况分析

一棵树的所有结点的深度和称为 内部路径长 (internal path length)，我们尝试计算 BST 平均路径长。令 D(N) 是具有 N 个结点的某棵树 T 的内部路径长，则有 D(1)=0。一棵 N 结点树是由一棵 i(0≤i<N) 结点左子树和一棵 N−i−1 结点右子树及深度为 0 的根组成的，则可以得到递推关系

得到平均值 D(N)=O(Nlog⁡N) ，因此结点的预期深度 O(log⁡N) ，但这不意味着所有操作的平均运行时间是 O(log⁡N) 。

Weiss 在书中为我们展示了一个随机生成的 500 个结点的 BST，其期望平均深度为 9.98。

如果交替插入和删除 Θ(N^2) 次，那么树的平均期望深度将是 Θ(N) 。而下图展示了在 25 万次插入移除随机值之后树的样子，结点的平均深度为 12.51 。其中有可能的一个原因是，在移除结点时 remove 总是倾向于移除结点的前驱，而保留了结点的后继。我们可以尝试随机移除结点前驱或后继的方法来缓解这种不平衡。还有一个原因是一个给定序列，由根 (给定序列的第一个元素) 的值决定这棵树的偏向，如果根元素过大则会导致左子树的结点更多，因为序列中大部位数都小于根，反之则导致右子树结点增多。