本节书摘来自华章计算机《大数据架构和算法实现之路：电商系统的技术实战》一书中的第3章，第3.1节，作者 黄 申，更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看。
第3章
方案设计和技术选型：
因变量连续的回归分析
利用分类和聚类技术解决了前面两个问题之后，本章最终要关注小丽提出的第三大需求：在合理的范围内预测商品的销售转化率。“这项任务看上去不可能完成啊！”大宝不禁感叹道。“大宝，你说的有道理。销售和证券市场类似，影响其变化的因素实在是太多了。不过，我们可以大胆假设一点：历史总是惊人的相似。遵循一定的科学方法，在某些场景下根据先前的数据进行尝试，也许能发现未来的一些规律。今天，我们就来讲述另一个重要的机器学习方法：因变量连续的回归分析。”
3.1 线性回归的基本概念
本章之前阐述的分类问题会根据某个样本中的一系列特征输入，最后判定其应该属于哪个分类，然后预测出一个离散的分类标签。现实中，除了分类还面临着一种问题，如何根据一系列的特征输入，给出连续的预测值？例如这里所说的，电子商务网站根据销售的历史数据，预估新商品在未来的销售情况，就是一种典型的应用场景。如果只是预估卖得“好”还是“不好”，粒度明显太粗，不利于商品的排序，如果预估值是其转化率或绝对销量，那就相对比较合理了。再次回到水果的案例，重新假想一个场景，我们邀请的果农都是久经沙场的老将，对于水果稍加评估就能预测有百分之多少的概率能卖出去。再将1000颗水果放入一个黑箱中，每次随机摸出一颗，这次我们不再让果农判断它是属于苹果、甜橙还是西瓜，而是让他们根据水果的外观、分量等因素预估其卖出去的可能性是多少，可能性是0%到100%之间的任何一个实数值。这就是最基本的因变量连续回归分析。
因变量连续回归的训练和测试流程及分类大体相当，不过采用的具体技术会有所不同，它采用的是研究一个或多个随机变量y1, y2, ..., yi与另一些变量x1, x2, ..., xk之间关系的统计方法，又称多重回归分析。我们将y1, y2, ..., yi称为因变量，x1, x2, ..., xk称为自变量。通常情况下，因变量的值可以分解为两部分：一部分是来自于自变量的影响，即表示为自变量相关的函数，其中函数的形式是已知的，可能是线性函数也可能是非线性函数，但含有一些未知参数；另一部分是来自于其他未被考虑的因素和随机性的影响，即随机误差。
- 回归按照不同的维度可以分如下为几种。
- 按照自变量数量：当自变量x的个数大于1时称为多元回归。
- 按照因变量数量：当因变量y的个数大于1时称为多重回归。
- 按照模型：如果因变量和自变量为线性关系，就称为线性回归模型；如果因变量和自变量为非线性关系，则称为非线性回归分析模型。举个例子，最简单的情形是一个自变量和一个因变量，且它们大体上有线性关系，这叫一元线性回归，即模型为Y = a + bX + ε，这里X是自变量，Y是因变量，ε是随机误差，通常假定随机误差的均值为0。
假设此处的水果案例中，每个水果都有6个特征维度，包括形状、颜色、重量等。这六维就是自变量，最终卖出的概率是一重因变量。通过六元自变量预测最终卖出概率的这个因变量，称为六元一重回归分析。至于是否线性回归，则需要看训练过程中，线性回归模型是否能很好地拟合学习样本，使得随机误差足够小。如果不能，那就需要尝试非线性的回归模型。图3-1展示了二维空间里的拟合程度，图中离散的点是训练数据实例，直线是回归学习后确定的拟合线。从左侧可以看出，实例点和学习的直线非常接近，误差比较小。而右侧却相反，实例点和学习得出的直线距离都比较远。这种情况下我们认为左侧的拟合度要好于右侧，而且左侧学习得出的函数参数更可信。而右侧可能需要考虑换成其他非线性的回归函数。
假设在水果的案例中我们足够幸运，最基本的线形回归效果很好，获得了如下的预测函数：
那么，在预测的时候，我们将新的数据对象的各个维度特征值带入上述公式，那么就可以得到预估的转化率。不过在现实的数据中，情况往往比较复杂。对此，我们还可以进行相关性分析，用于确定如下关系。
- 每个自变量和因变量之间的关系，初步估计对于最终预测而言，是比较重要的因素。
- 不同自变量之间的关系，发现可能冗余的因素。
常见的相关系数是皮尔森（Pearson）系数，它是用来反映两个变量线性相关程度的统计量。取值范围在[-1, 1]，绝对值越大，说明相关性越高，负数表示负相关。图3-2表示了正相关和负相关的含义。左侧X曲线和Y曲线有非常近似的变化趋势，当X上升Y往往也是上升的，X下降Y往往也下降，这就表示两者有较强的正相关性。右侧X和Y两者的变化趋势正好相反，当X上升的时候，Y往往是下降的，X下降的时候，Y往往是上升的，这就表示两者有较强的负相关性。
皮尔森系数没有考虑重叠数对结果的影响。计算公式如下：
其中n表示向量维度，xi和yi分别为两个向量在第i维的数值。和分别表示两个向量维度值序列的均值，sX和sY分别表示两个向量维度值序列的标准差。
由于这些回归分析的理论不容易理解，我们将直接使用R中的工具开展深入的分析，同时进行相关的讲解。
