前言😇

今天分享一下学到的基础算法前缀和。

首先了解一下前缀和的基础概念😄

有一个序列,序列内包含很多数a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7

a1的前缀和就是a1

a2的前缀和就是a1+a2

a3的前缀和就是a1+a2+a3

…

此时可以定义一个序列bn专门用于存放关于an的前缀和

b1、b2、b3、b4、b5、b6、b7…

使得：

b1=a1

b2=a1+a2

b3=a1+a2+a3

…

这样就得到了一个关于a序列的前缀和序列,在进行一些运算的时候可以大大的降低时间复杂度。

写题的时候步骤就是

(1)确定前缀和序列

(2)使用位置关系对前缀和序列进行查询,得到想要的结果

具体如何用听我细细道来

一维前缀和😈

问题描述

输入一个长度为n的整数序列。

接下来再输入m个询问，每个询问输入一对l, r。

对于每个询问，输出原序列中从第l个数到第r个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数n和m。

第二行包含n个整数，表示整数数列。

接下来m行，每行包含两个整数l和r，表示一个询问的区间范围。

输出格式

共m行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤l≤r≤n,

1≤n,m≤100000,

−1000≤数列中元素的值≤1000

输入样例：

5 3

2 1 3 6 4

1 2

1 3

2 4

输出样例：

3

6

10

问题分析

对于一维前缀和直接构造前缀和序列即可,然后打印l与r位置的前缀和元素之差。

可以将所有的结果先添加到一个序列中,在输入所有操作之后一块打印。

代码实现

老规矩先上运行结果：

# 暴力解决
'''
import sys
n,m=sys.stdin.readline().strip().split()
n,m=int(n),int(m)
nls=[]
ans=[]
ls=[int(x) for x in sys.stdin.readline().strip().split()]
for i in range(m):
    l,r=sys.stdin.readline().strip().split()
    l,r=int(l),int(r)
    sum=0
    for i in range(l-1,r):
        sum+=ls[i]
    ans.append(sum)
print(ans)
'''
# 前缀和
'''
先将数据处理一下,然后在进行计算的时候就是进行查询
显然进行查询要方便的多。
'''
import sys
n,m=sys.stdin.readline().strip().split()
n,m=int(n),int(m)
ls=[int(x) for x in sys.stdin.readline().strip().split()]
als=[]
ans=[]
als.append(0)
ans.append(0)
# print(ls,als,ans)
als.append(ls[0])
for j in range(1,n):
    als.append(als[len(als)-1]+ls[j])
for i in range(m):
    l,r=sys.stdin.readline().strip().split()
    r,l=int(r),int(l)
    ans.append(als[r]-als[l-1])
# print(ans)
for i in range(1,m+1):
    print(ans[i])

二维前缀和👿

问题描述

输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个询问，每个询问包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数n，m，q。

接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。

接下来q行，每行包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一组询问。

输出格式

共q行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤n,m≤1000,

1≤q≤200000,

1≤x1≤x2≤n,

1≤y1≤y2≤m,

−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3

1 7 2 4

3 6 2 8

2 1 2 3

1 1 2 2

2 1 3 4

1 3 3 4

输出样例：

17

27

21

问题分析

应准备一个矩阵，一个用于存放以(1,1)与(x1,y1)矩阵中的元素和

在进行求取面积内元素和的时候,使用矩阵元素之间的关系。

此时面临两个问题（可以配合图片进行理解）：

对于以下图片中均是左边代表原始矩阵,右边代表和矩阵

一、矩阵求求和

对应颜色矩阵的框所有数的和求出来后放进对应颜色的位置

由于矩阵叠加,所以我们在进行求和的时候应先加然后再减去叠加的部分故可得：

b₃₃=a₃₃+b₃₂+b₂₃-b₂₂

二、矩阵求差（这也是最终面临的问题）

由于矩阵叠加,所以我们在进行求差的时候应先减去矩阵周围的矩阵和,然后加上重复减去的部分：

故可得下标为a₂₂与a₃₃围成的矩阵所有元素和为：b_22-33=b₃₃-b₃₁+b₁₃+b₁₁

这里进行求解的时候可能面临坐标交换,a₂₂-a₃₃围成的矩阵,与a₃₂-a₂₃围成的是一个矩阵

所以我们不妨将a_x1y1中的下标均换成最小的便于计算。（也就是说转换成x1<x2,y1<y2）

然后以最小的坐标与最大的坐标为界,减去所求矩阵周围的矩阵

代码实现

老规矩先上运行结果：

import sys
ans=[]
# 原始矩阵
amatrix=[]
# 前缀和矩阵
bmatrix=[]
# 读入n,m,q并将其转换为数值类型
n,m,q=sys.stdin.readline().strip().split()
n,m,q=int(n),int(m),int(q)
# 初始化前缀和矩阵
for i in range(n+1):
    bmatrix.append([0]*(m+1))
# 读入原始矩阵
for i in range(n):
    amatrix.append([int(x) for x in sys.stdin.readline().strip().split()])
#利用原始矩阵,求前缀和矩阵
i=1
# 行
while i<=n:
    j=1
    # 列
    while j<=m:
        bmatrix[i][j]=amatrix[i-1][j-1]+bmatrix[i][j-1]+bmatrix[i-1][j]-bmatrix[i-1][j-1]
        j+=1
    i+=1
# 测试是否创建前缀和矩阵成功
# for i in bmatrix:
#     print(i)
# 写入坐标矩阵
qm=[]
for i in range(q):
    qm.append([int(x) for x in sys.stdin.readline().strip().split()])
# 计算某段矩阵的和
i=0
while i<q:
    # 处理矩阵中的xy，确保x2y2在矩阵的右下方便于后面计算
    if qm[i][0]>qm[i][2]:
        qm[i][0],qm[i][2]=qm[i][2],qm[i][0]
    if qm[i][1]>qm[i][3]:
        qm[i][1],qm[i][3]=qm[i][3],qm[i][1]
    ans.append(bmatrix[qm[i][2]][qm[i][3]]-bmatrix[qm[i][0]-1][qm[i][3]]-bmatrix[qm[i][2]][qm[i][1]-1]+bmatrix[qm[i][0]-1][qm[i][1]-1])
    # print(qm[i])
    i+=1
# 结果输出
print(ans)