一、时间复杂度

一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T（n)/f (n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

一般情况下，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。

1. 推导大O阶方法

那么如何分析一个算法的时间复杂度呢?即如何推导大O阶呢?我们给出了下面的方法:

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

2. 常数阶

我们刚刚的第二种算法(高斯算法)，为什么时间复杂度不是O(3)，而是O(1)

public static void main(String[] args) {
        int sum = 0, n = 100;   //1次
        sum = (1 + n) * n / 2;  //1次
        System.out.println(sum); //1次
    }

这个算法执行了3次。根据我们的大O阶的方法，第一步就是将常数项3改为1，它根本没有最高阶项，所以这个算法的时间复杂度是O(1)
注意：不管这个常数是多少，我们都记做O(1)，而不能是O(3)、O(100)等其他任何数字。

3. 线性阶

线性阶的循环结构往往会复杂很多。要确定某个算法的阶次，我们常常需要确定某个特定语句。我们要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环的运行情况。

   int i = 0;
   for (i = 0; i < n; i++) {
         //时间复杂度为O(1)的步骤序列   
     }

下面这段代码，它的循环的时间复杂度是O(n)，因为循环体中的代码需要执行n次

4. 对数阶

下面这段代码，时间复杂度又是多少呢?

        int count = 1;
        while(count < n) {
            count = count * 2;
        }

由于每次count乘以2之后，就距离n更近一分，也就是说，有多少个2相乘后大于n，则会退出循环.由2^x = n得到x = logn。所以这个循环的时间复杂度是O(longn)

5. 平方阶

下面例子是一个循环嵌套，它的内循环刚才我们已经分析过，时间复杂度为O(n)。

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                //时间复杂度为O(1)的步骤序列 
            }
        }

由于外层的循环，不过是内部这个时间复杂度为O(n)的语句，在循环n次，所以这段代码的时间复杂度是O(n²).

        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                //时间复杂度为O(1)的步骤序列 
            }
        }

如果外层循环次数变成了m，时间复杂度就变成了O(n×m)。

6. 时间复杂度练习

习题1

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = i; j < n; j++) {
                
            }
        }

总的执行次数为:n+(n-1)+(n-2)+...+1 = n*(n+1)/2 = n²/2+n/2
用我们推导大O的方法，第一条，没有加法常数不考虑，第二条只保留最高项，因此保留 n²/2，第三条去除系数，所以最终的时间复杂度是O(n²)。
习题2

public static void fun(int N,int M) {
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            count++;
        }
        for (int i = 0; i < M; i++) {
            count++;
        }
    }

一共执行N+M次，按照大O推导法，最终时间复杂度为O(N+M）
习题3

public static void main(String[] args) {
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < 1000; i++) {
            count++;
        }
    }

循环一共执行1000次，按照大O推导法，常数变为1，最终的时间复杂度为O(1)
习题4
二分查找的时间复杂度为多少?

public static int binarySearch(int[] arr,int k) {
        int left  = 0;
        int right = arr.length - 1;
        while(left <= right) {
            int mid = (left + right) / 2;
            if(arr[mid] > k) {
                right = mid - 1;
            }else if(arr[mid] < k) {
                left = mid + 1;
            }else {
                return mid;   
            }
        }
        return -1;
    }

二分查找每次排除掉一半的不适合值,一次二分剩下：n/2 两次二分剩下：n/2/2 = n/4,所以按照推导2^x = n得到x = logn。所以二分查找的时间复杂度是O(longn)
习题5
下面递归阶乘的时间复杂度为多少?

public static int factorial(int n) {
        if(n < 2) {
            return n;
        }else {
            return factorial(n - 1) * n;
        }
    }

我们以n = 3为例，发现递归执行了3次，所以时间复杂度为O(n).
习题6
下面递归斐波那契数列的时间复杂度为多少?

public static int factorial(int n) {
        if(n < 2) {
            return n;
        }else {
            return factorial(n - 1) + factorial(n - 2);
        }
    }

我们发现在递归的过程中，此处执行的次数是一个以1为首项，2为公比的等比数列之和.时间复杂度为O(2^n).

7. 最坏情况与平均情况

比如·我们在查找一个有n个随机数字的数组中查找某个数字，最好的情况是一次找到，它的时间复杂度为O(1)，也有可能最后一次找到，时间复杂度为O(n)。
一般在没有特殊说明的情况下，都是指最坏的时间复杂度
平均运行时间是所有情况中最有参考意义的，因为它是期望的运行时间。

二、空间复杂度

空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也
使用大O渐进表示法
因为我们现在电脑的内存和以往相比大了很多，现在我们更多的是追求时间，经常会出现空间换取时间的技巧。当不用限定词的使用"复杂度"时，通常都是指时间复杂度
练习1：

public static void bubbleSort(int[] arr) {
        for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) {
            boolean flg = true;
            for (int j = 0; j < arr.length - i -1; j++) {
                if(arr[j] > arr[j+1]) {
                    int h = arr[j];
                    arr[j] = arr[j+1];
                    arr[j+1] = h;
                    flg = false;
                }
            }
            if(flg == true) {
                break;
            }
        }
    }

我们发现在第一层循环里，创建了一个flg变量，但每次循环完之后都会销毁掉之前的，重新创建，相当于只创建了一个，所以空间复杂度为O(1).
练习2：

public static int[] func(int n) {
        int[] arr = new int[n + 1];
        arr[0] = 0;
        arr[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            arr[i] = arr[i-1] + arr[i-2];
        }
        return arr;
    }

我们可以发现额外创建了一个长度为n+1的数组，所以空间复杂度为O(n)
练习3：

public static int factorial(int n) {
        if(n < 2) {
            return n;
        }else {
            return factorial(n - 1) * n;
        }
    }

我们发现它会递归开辟n个空间，所以时间复杂度为O(n)
练习4：

public static int factorial(int n) {
        if(n < 2) {
            return n;
        }else {
            return factorial(n - 1) + factorial(n - 2);
        }
    }

我们以n为3举例，这里我们发现开辟最大空间为3，所以空间复杂度为O(n)