前言
AcWing算法提高课内容，本文讲解 动态规划
本篇包括以下题目：
⭐️ AcWing 423. 采药
⭐️ AcWing 1024. 装箱问题
⭐️ AcWing 278. 数字组合
⭐️ AcWing 8. 二维费用的背包问题
⭐️ AcWing 1020. 潜水员
⭐️ AcWing 1022. 宠物小精灵之收服
写博客有哪里不完善的地方或者有哪里表达错误希望大家提出来，博主会立即改正！望大家海涵
本文需要先自修基础：背包问题
注：本文中的所有代码全部为优化后的代码，且不提供优化解释，解释请见：背包问题，其中有详细的解释。
AcWing 423. 采药
题目要求
题目描述：
辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。
为此，他想拜附近最有威望的医师为师。
医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。
医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？
输入格式：
输入文件的第一行有两个整数 T 和 M ，用一个空格隔开，T 代表总共能够用来采药的时间，M 代表山洞里的草药的数目。
接下来的 M 行每行包括两个在 1 到 100 之间（包括 1 和 100 ）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。
输出格式：
输出文件包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。
数据范围：
1≤T≤1000,
1≤M≤100
输入样例：
70 3 71 100 69 1 1 2
输出样例：
3
思路分析
01背包的裸题，f [ i ]表示总时间不超过 i 的情况下可以采到的草药最大价值，可以说就是把01背包中的体积和质量变换为了时间和草药价值，直接把模板改改数据范围扔上来即可。
代码
#include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; const int N = 1010; int f[N]; int main() { int n, m; cin >> n >> m; for (int i = 1; i <= m; i ++ ) { int v, w; cin >> v >> w; for (int j = n; j >= v; j -- ) f[j] = max(f[j], f[j - v] + w); } cout << f[n] << endl; return 0; }
AcWing 1024. 装箱问题
题目要求
题目描述：
有一个箱子容量为 V ，同时有 n 个物品，每个物品有一个体积（正整数）。
要求 n 个物品中，任取若干个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。
输入格式：
第一行是一个整数 V ，表示箱子容量。
第二行是一个整数 n ，表示物品数。
接下来 n 行，每行一个正整数（不超过10000 ），分别表示这 n 个物品的各自体积。
输出格式：
一个整数，表示箱子剩余空间。
数据范围：
0<V≤20000,
0<n≤30
输入样例：
24 6 8 3 12 7 9 7
输出样例：
0
思路分析
也是一道01背包的裸题，与模板不同的是，这里的体积即为模板中的体积也为模板中的价值，且需要注意题目问的是剩余空间，故需要用总空间去减去用掉的空间，f[i]表示的是在总体积不超过 i ii 的情况下箱子内的最大体积。
代码
#include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; const int N = 20010; int f[N]; int main() { int V, n; cin >> V >> n; for (int i = 1; i <= n; i ++ ) { int v; cin >> v; for (int j = V; j >= v; j -- ) f[j] = max(f[j], f[j - v] + v); } cout << V - f[V] << endl; return 0; }
AcWing 278. 数字组合
题目要求
题目描述：
给定 N 个正整数A1,A2,…,AN，从中选出若干个数，使它们的和为 M ，求有多少种选择方案。
输入格式：
第一行包含两个整数 N 和 M 。
第二行包含 N 个整数，表示A1,A2,…,AN。
输出格式：
包含一个整数，表示可选方案数。
数据范围：
1≤N≤100,
1≤M≤10000,
1≤Ai≤1000,
答案保证在 i n t 范围内。
输入样例：
4 4 1 1 2 2
输出样例：
3
思路分析
注意到前两题都是求的最大价值，本题和前两题的唯一区别就是求的是方案数，求最大我们不需要对 f 数组进行初始化操作，因为 f数组内的元素默认是0，0就是最小的情况了，而求决策数和最小价值的时候，就需要对我们的 f 数组的部分元素做修改，我们本题规定 f [ i ] 表示选出的数的和正好为 i的情况下的决策数，所以我们的 f [ 0 ]应该初始化为 1 ，代表的是和为 0 的情况下，有一种方法：即全部都不选，因为求的是决策数，故状态转移方程就不再是：f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);，而应该改为：f[j] += f[j - a];
代码
#include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; const int N = 10010; int f[N]; int main() { int n, m; cin >> n >> m; f[0] = 1; for (int i = 1; i <= n; i ++ ) { int a; cin >> a; for (int j = m; j >= a; j -- ) f[j] += f[j - a]; } cout << f[m] << endl; return 0; }
